Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

7.2.1 La quadratura di un cerchio
Il problema della quadratura del cerchio consiste nel costruire un quadrato
che abbia la stessa area di un dato cerchio. Questo problema nasce come
estensione del problema di trovare un quadrato di area uguale ad un qualsiasi
poligono dato.Gli studiosi di geometria dell’antica grecia erano in grado
di costruire un quadrato di area uguale alla somma delle aree di due quadrati
assegnati. Essi potevano anche costruire un quadrato di area uguale a
quella di un triangolo rettangolo assegnato ed infine anche un triangolo rettangolo
di area uguale a quella di un assegnato triangolo. Dunque, poiché
ogni poligono può essere decomposto in triangoli, essi potevano combinare tali
costruzioni per ottenere la quadratura di un qualsiasi poligono. Il problema
della quadratura del cerchio affianca anche il problema della rettificazione della
circonferenza che consiste nel costruire, con riga e compasso, un segmento
di lunghezza pari alla circonferenza del cerchio.
Mostriamo innanzitutto perché non è possibile: trovare una soluzione al
problema della quadratura del cerchio richiederebbe la costruzione di un segmento
di lunghezza √ π, infatti l’area del cerchio è πr 2 e quindi un quadrato
con area πr 2 deve avere lato pari a r √ π. Abbiamo mostrato come i greci
costruivano la radice quadrata di un numero reale positivo a (a sua volta costruibile),
ma non è possibile costruire un segmento lungo π. Infatti π è un
numero trascendente, ovvero non-algebrico, quindi non costruibile. Il problema
non è risolubile perchè il problema non è algebrico. La trascendenza di
π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882, ossia ben più di due
millenni più tardi. Essa chiude l’era dei tentativi infruttuosi rivolti a cercare,
per via elementare, la quadratura del cerchio, mostrando che il problema non
è risolubile né elementarmente, cioè mediante rette e cerchi, né con l’utilizzo
di curve algebriche più elevate.
Analogamente, trovare una soluzione al problema della rettificazione della
circonferenza richiede la costruzione di un segmento di lunghezza π infatti, la
circonferenza del cerchio è 2πr, e quindi si dovrebbe costruire un segmento di
lunghezza 2πr che come prima non si può fare. Questi due problemi, come
dimostrò Archimede 1 , sono strettamente legati fra loro infatti, esprimendoli
in forma algebrica:
• Rettificazione della circonferenza: C = 2πr;
• Quadratura del cerchio: A = πr2 = 1
2r · C;
1 Archimede, ”Sulla misurazione del cerchio, Proposizione 1
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