Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• Antinomia di Epimenide (del mentitore)
• Antinomia di Berry
• Antinomia di König
• Antinomia di Richard
Ciò che interessa a noi è che Russell identifica in queste antinomie una
caratteristica comune ovvero l’autoriferimento o la riflessività. Deve quindi
trovare un modo di aggirare questo problema, che sembra quello scatenante le
antinomie.
Per fare ciò Russell assume il principio del circolo vizioso introdotto da
Poincaré che dice
Tutto ciò che coinvolge tutto di una collezione non deve essere
elemento della collezione.
Il principio del circolo vizioso afferma che nessuna totalità può contenere
membri definibili solo in termini di tale totalità. Non si può accettare una
definizione di un ente quando in questa definizione viene implicata la totalità
cui l’ente appartiene o, in modo più restrittivo, quando nella definizione
stessa si faccia ricorso a termini la cui definizione è possibile soltanto facendo
riferimento alla classe cui l’ente da definirsi appartiene. Sarebbe ad esempio
un’operazione illegittima, passibile causa di antinomie, la definizione di numero
reale che facesse riferimento alla classe di tutti i numeri reali, cui ovviamente
appartiene quel particolare numero che si vuole definire.
Russell poi definisce come impredicative quelle proposizioni che violano il
circolo vizioso e che quindi possono portare ad antinomie. Sostiene quindi
che basti far in modo che il sistema logico non permetta la formazione di
siffatte frasi per evitare le antinomie. Russell fa notare che, una volta assunto
il principio del circolo vizioso in questa visione, viene a crearsi una distinzione
tra le espressioni tutti e uno qualunque.
La prima, che assume senso cumulativo è l’unica delle due in grado di
portare ad antinomie, in quanto ha potere totalizzante, la seconda invece no,
in quanto ha senso distributivo e, non come la prima, cumulativo.
Dopo di ciò Russell comincia con la presentazione vera e propria della
soluzione ovvero la teoria dei tipi. Questa consiste nello stratificare, tutto
l’universo del discorso, in livelli gerarchici ben definiti che chiama appunto
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