Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

del Programma, anche nelle prime fasi del suo stesso pensiero, il metodo usato
per dimostrare la consistenza di una teoria assiomatica era darne un “modello”.
Un modello è semplicemente un insieme ben definito di oggetti scelti da
un’altra teoria che diano un’interpretazione dei termini presentati nel sistema
in modo tale da soddisfare gli assiomi. Ad ogni oggetto o nozione primitiva
della teoria assiomatica si fa corrispondere un oggetto od una nozione dell’altra
teoria, in modo tale che gli assiomi nella prima corrispondano a teoremi
nella seconda. Se quest’altra teoria è consistente, allora anche quella di partenza
dev’esserlo. Supponendo infatti che nella teoria assiomatica si potesse
dedurre una contraddizione dagli assiomi, si dovrebbe poter dedurre una contraddizione
tra i teoremi corrispondenti. Esempio: Beltrami nel 1968 mostrò
che le rette nella geometria piana di Lobatchevsky e Bolyai possono essere rappresentate
dalle geodetiche su una superficie di curvatura negativa e costante
nello spazio Euclideo. Quindi la geometria iperbolica piana è consistente se
la geometria Euclidea lo è. Ma c’è un problema: questo tipo di dimostrazioni
della consistenza di una teoria sono “relative”. La teoria per cui si produce un
modello è consistente se lo è quella da cui il modello è stato preso, per cui solo
quando quest’ultima è inattaccabile il modello ci dà una dimostrazione valida
della consistenza. Ma per dimostrare la consistenza, ad esempio, della teoria
dei numeri classica o dell’analisi matematica non si può usare questo metodo.
Hilbert e Bernays escludono anche la possibilità di poter ottenere un modello
ispirandosi al mondo fisico o a quello delle percezioni. Se si deve provare la
consistenza di teoria dei numeri, analisi, etc. bisogna usare un altro metodo ed
è qui che entra in gioco l’idea di Hilbert. Grazie alla traduzione della teoria in
sistema formale e quindi in un oggetto della matematica finitista, l’enunciato
di consistenza si riduce infatti ad una proposizione della metateoria e quindi
suscettibile di dimostrazione non formale ma contenutistica. Si esaminano gli
assiomi e le regole del sistema formale e si mostra con ragionamenti finitistici
che non si può derivare, ad esempio, la contraddizione 1 �= 1 (o qualunque altra
contraddizione fissata, dato che tutti i sistemi considerati da Hilbert contengono
la regola di derivazione ex falso quodlibet, secondo cui se la teoria dimostra
una contraddizione allora dimostra ogni formula). A partire dal 1923, Hilbert
introdusse un’ulteriore distinzione nel suo punto di vista: quella tra formule
“reali” ed “ideali”. Le formule reali sono quelle che corrispondono a proposizioni
contenutistiche, finitarie, quelle ideali sono le altre. Esse sono aggiunte
alla parte reale delle teorie matematiche per preservare i modi di inferenza
classici anche nei ragionamenti che trattano l’infinito come attuale. Un esem-
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