Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Le successioni di Cauchy sono quelle che “si addensano sempre di più”;
se le rappresentassimo in una retta avremmo che preso un ε > 0 da un certo
valore di nε in avanti, tutti i punti an si trovano in un intervallo I di ampiezza
ε. Preso un altro ε ′
diverso dal primo avrò un altro intervallo I ′
di ampiezza ε ′
in cui per opportuni n i punti della successione (an) si “addenseranno sempre
di più”.
Intuitivamente si capisce che l’intersezione di tutti gli intervalli I dovrebbe
essere un solo punto appartenente al sistema che si sta considerando e questo
punto sarà il limite della successione. Ma se consideriamo successioni di Cauchy
sui razionali, allora questo numero non sempre esiste in Q. Cioè Q non
è Cauchy-completo, per esempio la successione delle somme �∞ 1
n=0 n! , che ha
valori in Q, converge ad e /∈ Q. Quindi si introducono i Reali per superare
questa limitatezza dei razionali.
Chiamiamo C(Q) le successioni di Cauchy su Q e considero le seguenti
operazioni su C(Q):
• Somma: (an) + (bn) = (an + bn)
• Prodotto: (an) · (bn) = (an · bn)
Anche (an + bn) e (an · bn) sono successioni di Cauchy
Dimostrazione. Per la somma: ∀ε > 0 e ∀m, n > nε, devo provare che
Sappiamo che, per m ed n opportuni,
quindi
|(an + bn) − (am + bm)| < ε.
|an − am| < ε
2
|bn − bm| < ε
2
|(an + bn) − (am + bm)| = |an − am + bn − bm|
≤ |an − am| + |bn − bm|
< ε ε
+ = ε .
2 2
Per quanto riguarda il prodotto consideriamo un numero A ∈ Q tale che ∀n
sia |an| < A e |bn| < A e sia n∗ tale che ∀m, n > n∗ si ha
|am − an| < ε
2A
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