Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

3. dimostrò che N contiene sottoinsiemi propri che hanno la sua stessa
potenza;
4. dimostrò, tramite il celeberrimo processo diagonale, che N e Q sono
equipotenti;
5. dimostrò che N e l’insieme dei numeri algebrici sono equipotenti;
6. dimostrò che R ha una potenza maggiore di N. Chiamò numerabile ogni
insieme equipotente a N e continuo ogni insieme equipotente a R;
7. dimostrò che un qualsiasi segmento e una qualsiasi superficie sono insiemi
continui, cioè che un segmento ed una superficie contengono lo
stesso “numero” di punti. Più in generale dimostrò che R ed R n sono
equipotenti (per qualsiasi n > 1);
8. Dimostrò che l’insieme delle parti P(A) di un insieme A (cioè l’insieme
di tutti i sottoinsiemi di A) ha una potenza di 1 maggiore di quella di
A. Così, ad esempio, P(N) è un insieme continuo.
A partire dal 1874 (anno in cui apparvero i suoi articoli più innovativi)
Cantor formulò la teoria degli insiemi come disciplina matematica a sé. In
essa si sviluppava la cosiddetta aritmetica transfinita che rivoluzionava letteralmente
la nozione matematica di infinito, e che sarebbe stata destinata a
cambiare la storia della matematica.
Egli assegnò ad ogni insieme infinito un cardinale, partendo da 1 e assegnando
via via numeri maggiori ad insiemi con una potenza maggiore. Dimostrò
che esistono infiniti numeri transfiniti, ma è ancora aperta la questione se
ve ne sia qualcuno maggiore di quello di N e minore di quello di R. La teoria
degli insiemi di Cantor è un indubbio capolavoro e stupisce per la chiarezza
con cui tratta quell’orribile infinito che aveva offuscato le migliori menti, per
imbrigliarlo in secche ed eleganti definizioni.
Essa “difettava” però proprio nella definizione di partenza, cioè nella definizione
di insieme, che era: per insieme si intende un raggruppamento in un
tutto di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero.
Ma cos’è un raggruppamento? E un tutto? Un oggetto? Ebbene Cantor
non ci dice niente di preciso sui primi due ma dice chiaramente che oggetto è
una nozione intuitiva dell’uomo.
E’ strano che proprio la teoria degli insiemi, che sarà una delle principali
armi scagliate contro l’intuizione, sia stata costruita dal suo fondatore intorno
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