Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

limite inferiore delle distanze q ′′ q, q ′′ q ′ , q ′′ q ′′′ , ..., ecc.
Dato che Q è un insieme isolato, tutte queste grandezze ρ, ρ ′ , ρ ′′ , ... sono diverse
da zero.
Si descriva con centro q la figura (n−1)-dimensionale i cui punti hanno distanza
ρ
da q; questa figura delimita un’ipersfera n-dimensionale che indicheremo
2
con K. Si costruiscano, allo stesso modo, un’ipersfera K ′ con centro q ′ e raggio
ρ ′
2 , un’ipersfera K′′ con centro q ′′ e raggio ρ′′
2 , ecc.
Vale un fatto fondamentale, cioè che due qualsiasi di queste ipersfere, per es.
K e K ′ , possono essere al massimo tangenti, e in caso contrario sono totalmente
esterne l’una all’altra.
Ciò dipende dall’essere le due grandezze ρ e ρ ′ , come segue dalla loro defini-
zione, minori o uguali a qq ′ , per cui i raggi ρ ρ′
2 , 2 delle due ipersfere K, K′ non
sono maggiori della congiungente i centri qq ′ .
Perciò le ipersfere K, K ′ , ... formano una classe di sottodomini n-dimensionali
esterni l’uno all’altro dello spazio n-dimensionale di base; ma una simile classe
è, come abbiamo qui dimostrato, sempre numerabile. Di conseguenza anche i
loro centri q, q ′ , q ′′ , ... formano un insieme numerabile, cioè è numerabile Q.
Siamo ora in grado di dimostrare il seguente
TeoremaII. Se la derivata P’ di un insieme di punti P è numerabile, è numerabile
anche P.
Dimostrazione. Indichiamo il massimo comun divisore di P e P ′ con R; sia
cioè
R ≡ D(P, P ′ ),
e poniamo
P − R ≡ Q.
Allora Q sarà, come abbiamo già visto, un insieme isolato e quindi, per il teor.
I, numerabile.
R è numerabile in quanto parte costitutiva dell’insieme P ′ , numerabile per
ipotesi.
Ma l’unione di due insiemi numerabili dà sempre un insieme anch’esso numerabile;
perciò P ≡ Q + R è numerabile.
TeoremaIII. Ogni insieme di punti di primo genere e n a specie è numerabile.
1 a dimostrazione. Per gli insiemi di punti di 0 a specie il teorema è evidente
in quanto tali insiemi sono chiaramente isolati. Ragioniamo ora per induzione
completa, assumendo che il teorema sia vero per gli insiemi di punti di
0 a , 1 a , 2 a , ..., (n − l) a specie e dimostrando su questa base che è vero anche per
gli insiemi di n a specie.
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