Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

con un numero arbitrario n di lati, prima di tutto consideriamo il caso n = pq
dove p e q sono numeri interi. Dato l’n-gono regolare si costruiscono subito
il p-gono e il q-gono, infatti dato l’arco di cerchio 2π
n moltiplicandolo per q si
ottiene:
2πq 2π
=
n p
per cui riesco a costruire l’n-gono se so costruire il p-gono. Ora sia n scomposto
nei suoi fattori primi:
n = p α1
1 pα2 2 . . . pαr r
Affinché la costruzione dell’ngono sia possibile, deve essere possibile la co-
struzione dei poligoni regolari di p α1
1
, pα2
2
, . . . , pαr
r lati. La costruzione di un
poligono regolare di pα lati dipende dalla risoluzione dell’equazione: zpα = 1;
si dimostra che il polinomio:
zpα − 1
zpα−1 − 1
è irriducibile. Quindi l’equazione è risolubile per radicali quadratici solo quando
il suo grado: p α − p α−1 = p α−1 (p − 1) è una potenza di due. Di conse-
guenza quando: α = 1 e p = 2n + 1, ma essendo p un primo, come visto
prima, p = 22m + 1. Possiamo alla fine concludere affermando che un poligono
regolare di n lati è costruibile con riga e compasso quando:
n = 2 m (2 2m1 2
+ 1) . . . (2 ms
+ 1)
7.2 I tre problemi classici
Abbiamo già nominato i tre problemi geometrici più conosciuti che hanno
stimolato i matematici per molti secoli, sono: la quadratura del cerchio, la trisezione
di un angolo e la duplicazione del cubo. In questo capitolo tratteremo
di questi problemi da più punti di vista, forniremo la dimostrazione dell’impossibilità
della loro risoluzione con riga e compasso e illustreremo anche alcune
costruzioni che utilizzano altri strumenti. Il grande interesse suscitato dalla
difficoltà, o meglio noi diremmo impossibilità, di certe costruzioni con la riga
e il compasso ha generato una vastissimo repertorio di costruzioni ottenute
attraverso curve diverse da rette e cerchi, disegnate in alcuni casi grazie a
strumenti meccanici.
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