Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Proposizione 70. In ogni anello ordinato (K, ≥) valgono le seguenti proprietà:
1. Se x + z < y + z allora x − y.
2. x < y se e solo se 0 < y − x se e solo se x − y < 0 se e solo se −y < −x.
3. Per ogni x, x > 0 oppure x = 0 oppure x < 0.
4. x > 0, y > 0 implica x + y > 0.
5. x < y. z > 0 implica xz < yx.
6. x < 0, y < 0 implica xy > 0.
7. x < 0, y > 0 implica xy < 0.
8. x 2 > 0
Un anello ordinato che soddisfi le proprietà elencate non è detto che sia
isomorfo a Z, ma:
Proposizione 71. Due anelli integri che soddisfino la proprietà: per ogni x,
o x = 0 oppure x = m· , oppure −x = m · 1 per qualche m ∈ N, (dove · non è
la moltiplicazione dell’anello, ma si intende m · 1 = 1 + · · · + 1, m volte) sono
isomorfi. (Cioè c’è un isomorfismo di anelli che rispetta l’ordine).
Z soddisfa questa proprietà, quindi ogni altro anello che la soddisfi è isomorfo
a Z, possiamo quindi descrivere gli interi in modo più formale. Un modo
è il seguente:
Definiamo l’insieme N × N con la relazione:
(a, b) ∼ (c, d) ↔ a + d = b + c (13.3)
Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza. (L’idea è che (m − n)
“esprime” m − n, e quindi varie coppie “esprimono” lo stesso intero).
Si pone Z = N × N/∼ e si definiscono le operazioni così:
Definizione 72. • [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]
• [(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)]
• [(a, b)] = [(−b, −a)]
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