Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

(γ) è indimostrabile e, visto che questo è ciò che dice, è anche vera. Non
abbiamo trovato che è vera trovandone una prova entro il sistema formale,
usando le regole puramente meccaniche di quel sistema, e cioè, deducendovela.
Piuttosto, abbiamo mostrato che è vera, ironicamente, uscendo dal sistema e
mostrando che non se ne può produrre una prova entro il sistema formale.[...]
Rimane qualcosa -sempre- che esclude la cattura in un sistema formale. È in
questa metaluce che Gödel vide i propri teoremi di incompletezza. 15
19.5 Il Formalismo dopo i Teoremi di Gödel
Hilbert aveva concepito un ambizioso e articolato piano per mettere al
sicuro tutta la matematica esistente, sviluppandola in modo perfettamente
supervisionabile e dimostrandola libera da contraddizioni.
Ma Hilbert si era spinto anche oltre, congetturando che il metodo assiomatico
fornisca i mezzi non solo per formulare, ma anche per risolvere ogni problema
matematico.
Tale pretesa può essere giustificata solo ritenendo che le teorie formali con
cui la matematica ha a che fare siano complete 16 , cioè che dimostrino sempre o
una formula o la sua negazione. Ciò è esplicitamente congetturato da Hilbert e
Bernays per quanto riguarda l’aritmetica e l’analisi [5] e sembra ci si aspettasse
lo stesso anche per la teoria degli insiemi.
Ma le cose non stanno come Hilbert pensava: nel 1931 Gödel dimostrò infatti
che ogni teoria formale che estenda la teoria standard PA dell’aritmetica
non può essere completa, dato che esistono nella teoria delle proposizioni indecidibili
che il sistema non è in grado né di dimostrare né di refutare. Questo
dimostra che su strutture infinite non è in generale possibile simulare una nozione
platonica di verità mediante un sistema formale, e perciò usare i sistemi
formali come procedimenti di decisione totali.
Ma c’è di più: Gödel mostrò che ogni proposizione della metamatematica
su un dato sistema formale è equivalente ad una proposizione aritmetica,
traducibile in una formula nel linguaggio dell’aritmetica.
In particolare, alla proposizione di consistenza (o coerenza) di una teoria T
15 Goldstein R. Incompleteness. The Proof and Paradox of Kurt Gödel.
16 È interessante osservare che i formalisti non fanno distinzione tra completezza sintattica
e categoricità, cioè la proprietà di una teoria di ammettere un solo modello a meno di
isomorfismi.
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