Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

In seguito concentrò i propri sforzi per istituire una corrispondenza biunivoca
tra i punti di una retta e i numeri reali. Scelta un’origine e un’unità
di misura, era facile la biunivocità dei punti commensurabili con l’unità e i
numeri razionali.
Poiché, dato un punto, esso poteva essere avvicinato a piacere da una successione
di punti commensurabili tale che i corrispondenti numeri razionali
a1, a2, ..., an, ... costituissero una successione fondamentale, era possibile stabilire
una corrispondenza iniettiva tra i punti di una retta e i numeri reali.
Dunque, fissata l’origine, ad ogni punto della retta reale potevo associare un
numero corrispondente alla distanza di tale punto dall’origine: questa poteva
essere o una grandezza a ∈ A (cioè un numero razionale) altrimenti poteva
essere avvicinata da una successione a1, a2, ..., an, ... di razionali, e si poteva
quindi affermare che la distanza era il valore b ∈ B, limite di tale successione.
Ad ogni punto della retta potevo quindi associare un elemento del dominio B.
Tuttavia, non riusciva a dimostrare il viceversa e fu costretto ad invocare il
seguente assioma:
“Anche viceversa, ad ogni numero corrisponde un determinato
punto della linea la cui coordinata è uguale a quel numero ”.
Questo assioma era utile a Cantor per due motivi: da un lato dava agli elementi
del dominio B un’ulteriore oggettività, dall’altro dava senso di simmetria e
completezza alle relazioni tra la linea e i numeri reali. Grazie ad esso, infatti,
Cantor poteva affermare che ad ogni numero reale era possibile associare un
punto della retta e viceversa: c’era quindi una corrispondenza biunivoca tra
retta e numeri reali.
Cantor proseguì costruendo C da B in termini di sequenze fondamentali
di elementi di B con lo stesso procedimento con cui aveva costruito B da A
e così via, reiterando un numero finito λ volte la costruzione. Egli si accorse
che era possibile stabilire una corrispondenza iniettiva tra A e B ma non
biettiva; mentre tra B ed ognuno degli altri sistemi era possibile istituire una
corrispondenza biettiva. A questo punto Canto sottolineò : “Sebbene B e
C possano essere considerati come identici, è tuttavia essenziale nella teoria
seguita mantenere l’astratta distinzione tra B e C”.
Ripetendo lo schema sopra esposto che dal dominio A lo aveva portato
alla costruzione dei domini B,C,...,M,L, Cantor, considerando insiemi di punti
anzichè successioni di valori, giunse ad introdurre il concetto di insieme
derivato.
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