Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di razionalità un insieme di numeri che contiene ogni numero che si può ottenere
dai numeri stessi mediante operazioni razionali (addizione, sottrazione,
moltiplicazione e divisione). Tale campo può essere esteso o ampliato con l’aggiunta
di un elemento che non ne faccia parte: il nuovo campo conterrà allora
tutti i risultati delle operazioni razionali eseguite sugli gli elementi del campo
primitivo e sull’elemento aggiunto, oppure si può ampliare aggiungendo una
determinata operazione.
L’esame delle costruzioni che si possono ottenere con determinati strumenti
comporta due stadi, uno di pertinenza della geometria analitica, uno dell’algebra.
La geometria analitica permette di tradurre in linguaggio algebrico problemi
geometrici, ogni operazione geometrica trova riscontro in un’operazione
analitica. Perciò una prima analisi si deve soffermare nell’individuare quale sia
l’operazione analitica a cui corrisponde una costruzione eseguita con un determinato
strumento (ad esempio riga o compasso ect..); poi spetta all’algebra
esaminare ciascuna delle equazioni a cui conduce il problema proposto.
Cerchiamo quindi di rispondere alla domanda Quali problemi geometrici
sono risolubili con riga e compasso?
I dati del problema così come i risultati saranno rette, circonferenze e punti di
intersezione, ma possiamo operare una semplificazione considerando al posto
di una retta due punti che sono segati da questa, al posto di una circonferenza
il suo centro e la lunghezza del suo raggio; con ciò il nostro problema si riduce
a: dato un numero finito di punti costruire un punto che abbia con quelli determinate
relazioni. Per tradurre sotto forma analitica il problema, riferiamo
i punti dati e il punto incongnito in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali.
Se il problema è determinato, le relazioni in esso contenute dovranno
tradursi alla fine in equazioni che hanno per incognite le coordinate del punto
da costruirsi.
Concentriamoci sui problemi risolubili con la riga, enunciamo il seguente
risultato:
“ Condizione necessaria e sufficiente affinché un problema geometrico sia risolubile
con la sola riga, è che le equazioni da cui il problema dipende, siano
lineari ed abbiano i coefficienti appartenenti al campo di razionalità determinato
dalle coordinate dei punti che costituiscono i dati del problema.” Quindi
un punto è costruibile con la riga se le sue coordinate appartengono al campo
di razionalità delle coordinate dei dati.
Vediamo ora quale contributo porta l’uso del compasso aggiunto alla riga:
“Condizione necessaria e sufficiente affinché un problema geometrico possa
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