Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

11.4.2 Kronecker
Nell’opera Grundzüge einer aritmetischen Theorie der algebraischen Grössen
(Lineamenti di una teoria aritmetica delle grandezze algebriche) Leopold Kronecker
(1823-1891) rese noti i risultati delle sue ricerche algebriche, riguardanti
la teoria dei numeri e le funzioni algebriche. Il suo lavoro consisteva
principalmente di due parti:
• i fondamenti della teoria dei campi, la classificazione delle grandezze
algebriche in specie e l’applicazione alla Teoria di Galois;
• la teoria dei campi di numeri e di funzioni algebriche e la teoria degli
ideali di polinomi.
In Kronecker troviamo alcuni concetti fondamentali:
• dominio di razionalità: estensione del campo dei numeri razionali ottenuto
aggiungendo certe grandezze.
“Il dominio di razionalità (R ′
, R ′′
, R ′′′
...) contiene, come indica già chiaramente
il termine, tutte quelle grandezze che sono funzioni razionali
delle grandezze R ′
, R ′′
, R ′′′
... a coefficienti interi.”
• irriducibilità di un polinomio: innanzitutto per polinomio si intendeva
una funzione algebrica intera a coefficienti nel dominio (R ′
, R ′′
, R ′′′
...);
un tale polinomio è irriducibile se non contiene come fattore un’analoga
funzione intera a coefficienti nel dominio dato.
• varietà irriducibile: è il correlato geometrico della scomposizione in
fattori irriducibili quando si considera una varietà algebrica come l’ente
formato dagli zeri di una famiglia di polinomi.
• dimensione di una varietà algebrica e di spazi.
Kronecker studiava la teoria dei polinomi in un certo numero di incognite
e a coefficienti in un determinato campo e, seguendo la teoria degli ideali
elaborata da Dedekind e Weber, mostrò che a due forme equivalenti è associato
lo stesso ideale dell’anello dei polinomi e che al prodotto di forme corrisponde
il prodotto degli ideali corrispondenti. Questo sviluppo teorico è detto Teoria
delle forme.
Concludiamo questo capitolo osservando che nonostante lavorassero sugli stessi
temi, Dedekind e Kronecker ebbero concezioni della matematica molto diverse.
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