Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Gruppi di trasformazioni geometriche
I principali matematici che si dedicarono a questi studi furono Cayley
(1821-1895), Klein (1849-1925) che lavorò sulle geometrie non euclidee e su
gruppi finiti di trasformazioni lineari frazionarie e Lie (1842-1899) che approfondì
i gruppi continui. Si soffermarono in particolare sullo studio degli
invarianti relativi ad una forma, dove per forma si intende un polinomio a due
o più indeterminate.
Gruppi astratti
Per strutture algebriche astratte si intendono quelle strutture definite esclusivamente
dalle leggi di composizione dei loro elementi. Ad esempio abbiamo
visto come Hamilton definì il corpo dei quaternioni proprio a partire dalle loro
regole di moltiplicazione. Vediamo i passi salienti della storia della nascita dei
gruppi astratti:
• nel 1829 Galois introdusse i gruppi di sostituzione;
• nel 1867 Jordan introdusse i gruppi di movimento;
• nel 1870 Kronecker definnì a partire dalle regole di composizione degli
elementi i gruppi abeliani.
• nel 1854 Cayley concepì la nozione generale di gruppo astratto;
• nel 1882 Van Dyck e Weber diedero la prima definizione di gruppo (ne
danno due ma che sono equivalenti).
Cayley e Sylvester studiarono con interesse la “Teoria delle forme” (o quantiche)
e i loro invarianti. Come abbiamo già detto per forme si intendono polinomi
omogenei a due o più variabili. Ad esempio la forma Ax 2 + 2Bxy + Cy 2
se uguagliata ad una costante diversa da 0 può rappresentare un’ellisse, una
parabola o un’iperbole, a seconda del segno che assume A 2 − AC. I termini
B 2 − AC e A + C rimangono gli stessi qualunque siano i valori che vengono
attribuiti alla forma, per questo sono altri esempi di invarianti.
Nel 1872 Felix Klein (1849-1925) unì la nozione di geometria a quella di gruppo.
Nel suo discorso inaugurale noto come Programma di Erlangen, sostenne
che una geometria è lo studio delle proprietà invarianti rispetto ad un dato
gruppo di trasformazioni e come esempi distingue:
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