Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

12.4 La potenza di un insieme
Gli studi fatti sui numeri reali e sugli insiemi derivati, suscitarono in Cantor
la voglia di conoscere la relazione tra i diversi tipi di insiemi infiniti che
aveva incontrato; per esempio la relazione tra insiemi infiniti con i numeri naturali
e insiemi infiti continui come i reali.
Egli aveva infatti osservato che il dominio dei razionali era strettamente contenuto
in quello dei reali (esisteva una funzione iniettiva da A a B ma non una
biezione). Studiando il processo di derivazione, inoltre, aveva osservato che gli
insiemi di n-esima specie costituivano, al crescere di n, una “ vertiginosa gerarchia
di concentrazioni sempre più addensate” che però non consentivano di
costruire il continuo; essi erano una sorta di “ infinito numerabile all’n-esima
potenza”.
Il 29 Novembre 1873, un anno dopo il loro primo incontro in Svizzera, Cantor
scrisse a Dedekind ponendogli la seguente questione:
“Sia (n) la collezione di tutti gli interi positivi n e (x) la collezione
di tutti i numeri reali x. (n) e (x) possono essere posti in corrispondenza
cosicché ogni elemento di una collezione corrisponda ad
uno e ad un solo dell’ altra collezione? ”.
Prima di addentrarci nello studio dei risultati ottenuti da Cantor sulla cardinalità
degli insiemi infiniti, analizziamo brevemente come era stato concepito
in concetto di infinito fino ad allora.
12.4.1 L’infinito nel passato
Il lavoro svolto da Cantor tra il 1874 e il 1884 costituisce l’origine della
teoria degli insiemi. Prima di allora, il concetto di insieme era stato usato
implicitamente e in modo elementare, fin dall’inizio della matematica, ma
nessuno aveva realizzato che la teoria degli insiemi avesse dei contenuti non
banali: prima di Cantor venivano considerati principalmente insiemi finiti e,
come concetto separato, “l’infinito”, che era trattato come argomento filosofico
più che matematico.
Fin dai tempi di Zenone i filosofi avevano parlato di infinito (spesso in teologia),
ma nelle discussioni riguardanti tale tema gli esempi più frequentemente
citati erano quelli di una potenza illimitata o di grandezze indefinitamente
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