Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

è impossibile. I diretti interessati negli sviluppi del programma e soprattutto
Hilbert non ebbero dubbi che si trattava di un colpo fatale per il progetto
così com’era stato concepito. Egli ne fu deluso: il risultato cui aveva dedicato
tanti sforzi dall’inizio del secolo non poteva essere raggiunto e la fiducia
illimitata nelle possibilità del metodo assiomatico e del suo approccio formale
che lo aveva portato a pronunciare il famoso motto “Noi dobbiamo sapere.
Noi sapremo.” era stata mal riposta. In ogni caso, lo stesso Gödel e Bernays
ritenevano che le difficoltà nella dimostrazione della consistenza di PA
potessero essere superate impiegando metodi che, seppur non formalizzabili
in PA, fossero comunque finitari e Hilbert stesso si rimise al lavoro pubblicando
due articoli che andavano in questa direzione. Se tali metodi potessero
essere considerati finitisti secondo l’originale concezione di Hilbert o costituissero
un’estensione del punto di vista finitista iniziale fu motivo di dibattito.
Tuttavia è sostanzialmente corretto dire che dal 1934 in avanti fu quasi universalmente
accettato che i metodi di dimostrazione accettati come finitisti prima
dei teoremi di Gödel sono tutti formalizzabili in PA. Estensioni dell’originale
punto di vista finitista furono tentate da Gentzen (1936), Takeuti (1987) e da
Gödel stesso (1958). Un’altra, più recente difesa del programma di Hilbert
(comunque non inteso come in origine) è stata tentata da Detlefsen (1986).
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