Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

una proprietà della classe di tutti i numeri reali algebrici).
Questo articolo fu il primo a fornire una prova rigorosa dell’esistenza di più
tipi di infinito, infatti in precedenza tutti gli insiemi infiniti erano stati implicitamente
assunti avere la stessa grandezza, cioè lo stesso numero di elementi.
In questo lavoro, oltre alla dimostrazione della numerabilità (cioè la proprietà
per un insieme di essere posto in corrispondenza biunivoca con gli interi positivi)
dei numeri algebrici e dei razionali, pubblica la dimostrazione della non
numerabilità dei numeri reali. Oltre a questa prima dimostrazione, nel 1891
Cantor ne pubblicherà una seconda, più nota ed elegante, che utilizza il suo
famoso argomento diagonale.
È da osservare come, nonostante il risultato più importante contenuto nel sopracitato
articolo sia certamente quello relativo alla non numerabilità dei reali,
Cantor abbia deciso di nominare nel titolo solo la questione riguardante i numeri
algebrici. Questo perchè, nella dimostrazione riguardante i numeri reali
egli utilizza sia la continuità che la sua teoria dei numeri irrazionali. Entrambi
questi argomenti erano sgraditi a Kronecker ed, essendo egli uno degli editori
del Crelle’s Journal (dove tale articolo doveva essere pubblicato), c’era la
paura da parte di Cantor che Kronecker si opponesse all’inserimento dei suoi
risultati.
Sarà solo nell’articolo successivo, intitolato “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”
(Contributo alla teoria della molteplicità) pubblicato nel 1878,
che Cantor inserisce la definizione precisa di maggiore, minore e uguale potenza.
In questo articolo, inltre, è presente un altro importante risultato: la
dimostrazione che la cardinalità di R n c uguale alla cardinalità di R.
12.4.3 Maggiore, minore o uguale potenza
Quella che noi oggi chiamiamo “cardinalità” di un insieme, venne inizialmete
denominata da Cantor con il termine “ Mächtigkeit”, cioè “ potenza”.
Nell’articolo del 1878 troviamo la seguente
Definizione 38 (Essere della stessa potenza o equivalenti). “Mi sia concesso,
se due insiemi M e N possono essere associati l’uno all’altro in modo univoco
e completo [biettivo], elemento per elemento (cosa che se è possibile in una
maniera lo è sempre anche in molte altre), di dire d’ora in poi che tali insiemi
hanno “uguale potenza”, o anche che sono “equivalenti”. Per “parte costitutiva”
di un insieme M intendiamo ogni altro insieme M ′ i cui elementi siano
anche elementi di M. Se i due insiemi M e N non hanno uguale potenza,
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