Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

può essere utilizzata per costruire un poligono regolare di 9 lati, o ogni multiplo
di 9.
La dimostrazione dell’impossibilità di tale costruzione risale al 1837 ad
opera di Wantzel. Dato un angolo φ, il problema consiste nel trovare la sua
. Sfruttiamo il seguente risultato della trigonometria:
terza parte: φ
3
tan φ =
e perciò ponendo: tan φ = a e tan φ
3
da cui:
a =
φ φ
3 tan 3 − tan3 3
1 − 3 tan2 φ
3
= x, abbiamo:
3x − x3
1 − 3x 2
(7.3)
(7.4)
x 3 − 3ax 2 − 3x + a = 0 (7.5)
che si dimostra essere in generale irriducibile, e siccome non è di grado una
potenza di due non è risolubile per radicali quadratici. Di conseguenza la terza
parte di un angolo non è costruibile con riga e compasso.
C’è un’importante differenza tra il problema di trisecare un angolo e gli
altri due problemi classici greci: non si può quadrare nessun cerchio con riga e
compasso, non si può duplicare nessun cubo con riga e compasso, ma esistono
alcuni angoli particolari per cui la trisezione è possibile con riga e compasso.
La trisezione è possibile in alcuni casi particolari, ad esempio l’angolo retto e
π
4
Infatti, dato un angolo retto, si tracci una circonferenza
con centro in A e raggio r qualsiasi;
essa taglia la semiretta passante per A in
B. Ora si tracci una seconda circonferenza con
centro in B e raggio r ; essa intersecherà la
prima circonferenza in D.
Il triangolo ABD ˆ è equilatero, infatti AB =
AD = BD = r. Quindi ABD ˆ = π
3 e, per differenza,
DAC ˆ π = 6 . Di conseguenza è possibile
trisecare l’angolo CAB. ˆ
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