Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

za di Brouwer è il legame stretto tra simbolismo e formalismo, teoria rivale
dell’intuizionismo.
Il principio del terzo escluso
Il culmine della riflessione di Brouwer sulla logica riguarda il principio del
terzo escluso. Secondo lui dire che un ente matematico esiste significa essere
in grado di spiegare la costruzione mentale che porta necessariamente alla sua
esistenza, in quanto ogni teorema è il risultato di una serie di passi costruiti
successivamente, e la prova del teorema è la costruzione stessa.
Dato che la matematica è costituita di azioni mentali, P e ¬P devono corrispondere
alla stessa azione mentale; risulta quindi naturale pensare che P
rappresenti una costruzione che porta ad un successo, mentre ¬P rappresenti
una costruzione che porta ad una contraddizione.
Questa interpretazione della negazione rende subito plausibile la non accettazione
da parte di Brouwer del principio del terzo escluso: P ∨ ¬P. Accettare
questo significherebbe che per qualsiasi enunciato, o si può esibire una
costruzione che lo conferma, oppure si perviene effettivamente ad una contraddizione;
“ne segue che la questione della validità del principio del terzo
escluso è equivalente alla questione se possano esistere problemi matematici
insolubili”, visto che una dimostrazione di impossibilità costituisce comunque
una soluzione ad un problema. Ciò che Brouwer rifiuta non è l’idea che ogni
problema matematico possa avere prima o poi una soluzione; semplicemente,
ogni questione matematica aperta è di per sé un asserto di principio del terzo
escluso in sospeso, dunque lo stesso asserto generale del principio del terzo
escluso rimane aperto per questo motivo. Se infatti per arrivare alla soluzione
di un problema bisogna passare in rassegna, per ogni proprietà, tutte le varie
costruzioni che possono costituire passi della prova che la proprietà vale per
ciascuno degli enti in questione, quando il numero di enti matematici a cui ci
si riferisce è infinito i tentativi da fare per arrivare ad una soluzione del problema
sono in quantità più che numerabile, dunque si potrebbe non arrivare
mai alla soluzione cercata. Ne sono un chiaro esempio le sequenze di scelta:
se due di esse sono: α = 1, 4, 7, 9, 1, ...β = 1, 4, 7, 9, 1, ..., non abbiamo nessun
diritto di dire (α = β) ∨ ¬(α = β), perché ad ogni punto delle sequenze non
possiamo sapere quali saranno le scelte successive. Brouwer quindi rifiuta la
validità del principio del terzo escluso quando riguarda le sequenze di scelta
(quando riguarda casi infiniti).
La messa in discussione del principio del terzo escluso aveva conseguenze de-
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