Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

temente da Descartes. L’ enunciato sopra citato fu scritto un anno prima
della pubblicazione di La Gèomètrie, e anche in questo caso l’uso di coordinate
nasceva dall’applicazione dell’algebra a problemi della geometria antica.
Tuttavia il punto di vista di Fermat non coincideva completamente con quello
di Descartes: Fermat poneva l’attenzione sull’importanza di abbozzare soluzioni
di equazioni indeterminate, invece della costruzione geometrica delle
radici di equazioni algebriche determinate.
Fermat scrisse un breve trattato intitolato Ad locos planos et solidos isagoge
(Introduzione ai luoghi piani e solidi) e si dedicò allo studio dei luoghi più
semplici. Mentre Descartes non partì mai da un equazione per costruire una
curva, Fermat partì da un’equazione lineare e scelse un sistema di coordinate
arbitrario nel quale rappresentarla. Così Fermat rappresentò l’equazione lineare,
espressa in latino con D in A aequetur B in E (ossia usando il simbolismo
moderno, Dx � By). La rappresentazione grafica era naturalmente una retta
passante per l’origine delle coordinate, o piuttosto una semiretta avente come
estremo l’origine: Fermat, infatti, come Descartes, non faceva uso di ascisse
negative. Fermat da’ poi varie equazioni algebriche in A ed E e dice quali curve
esse descrivono. Così scrive l’equazione B quad.-A quad. aequetur E quad
(nella nostra notazione, B 2 − x 2 = y 2 ) rappresenta un cerchio. Analogamente
(nella nostra notazione) a 2 − x 2 = ky 2 rappresenta un’ellisse; a 2 + x 2 = ky 2
e xy + a rappresentano iperboli, e x 2 = ay rappresenta una parabola. A
equazioni di secondo grado più generali, in cui comparivano parecchi termini
di secondo grado, Fermat applicava una rotazione degli assi per ridurle alle
forme precedenti.
L’interpretazione della geometria analitica di Fermat è concreta e operativa.
Egli vi scorge un metodo per dare forma algebrica a molti problemi
acquisiti dall’algebra, ma non è disposto a riconoscerle una funzione di rottura.
Osserva che gli antichi avevano compiuto molti passi verso la nuova disciplina
e nelle loro opere si ritrovavano quasi tutti i principi e gli accorgimenti usati
in modo sistematico dalla geometria analitica. La validità di questi principi
e accorgimenti risulterà provata soltanto dagli effettivi successi conseguiti in
relazione a problemi particolari, che i vecchi metodi non erano riusciti a risolvere.
Fermat scrisse un trattato intitolato Metodo per trovare i massimi e i minimi.
Egli aveva considerato i luoghi geometrici espressi (in notazione moderna) da
equazioni della forma y = x n ; essi sono perciò noti con il nome di “parabole
di Fermat” se n è positivo o di “iperboli di Fermat” se n è negativo. Per le
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