Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

come P ZA, la cui somma è minore della differenza tra l’area del triangolo E
e quella del cerchio ABCD. Il poligono circoscritto è di conseguenza minore
del triangolo E, il che genera una contraddizione. Infatti è maggiore, dato che
NA è uguale all’altezza del triangolo e che il perimetro del poligono è maggiore
della base del triangolo. Pertanto il cerchio è equivalente al triangolo E.
Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro,
Archimede diede un’ulteriore prova della sua abilità di calcolo. Partendo
dall’esagono regolare inscritto, egli calcolò i perimetri dei poligoni ottenuti
raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere novantasei
lati. Il procedimento iterativo da lui usato per questi poligoni si ricollegava
a quello che viene talvolta chiamato l’algoritmo archimedeo. Si sviluppa la
serie Pn, pn, P2n, p2n, P4n, p2n, ..., dove Pn e pn sono i perimetri dei poligoni
regolari di n lati circoscritti ed inscritti. A partire dal terzo termine, si calcola
ogni termine in base ai due termini precedenti prendendo alternativamente le
loro medie armonica e geometrica. In altri termini:
e
P2n = 2pnPn
(pn + Pn)
p2n = � pnP2n
e così via. Il suo metodo per calcolare le radici quadrate, per trovare il perimetro
dell’esagono circoscritto e per calcolare le medie geometriche era simile
a quello usato dai Babilonesi. Il risultato del calcolo archimedeo relativo alla
circonferenza era costituito da un’approssimazione al valore di π espressa dalla
disuguaglianza 3 + (10/71) < π < 3 + (10/70), che era un valore migliore di
quello ottenuto dagli Egiziani e dai Babilonesi (va tenuto presente che nè Archimede,
nè alcun altro matematico greco fece mai uso della nostra notazione
π, per indicare il valore del rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo
diametro). Così si esprimette Archimede sul valore di π:
“La circonferenza è uguale al triplo del diametro più una certa
porzione del diametro stesso, più piccola dei 10/70 e più grande dei
10/71 del diametro stesso”.
6.3.4 Sulla sfera e sul cilindro
Tale opera rappresentò un libro molto importante per Archimede. Egli
giunse infatti ad uno dei suoi risultati di maggiore rilievo: l’area e il volume
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