Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

piramide, prisma, sfera, cono, cilindro, cubo e altre figure. Tra le più significative,
ricordiamo:
DEFINIZIONE XI.1: Un solido è ciò che ha lunghezza, larghezza e profondità.
DEFINIZIONE XI.2: Limite di un solido è una superficie.
Questo libro non ha un’ impostazione assiomatica vera e propria come il libro
I.
È stata fatta molta critica su come Euclide ha cercato di far derivare da
queste definizioni le sue prime proposizioni, come ad esempio le seguenti
PROPOSIZIONE XI.2: Tre punti non allineati stanno in un unico piano.
PROPOSIZIONE XI.3: Se due piani si intersecano, la loro sezione comune è
una retta.
Le analisi assiomatiche moderne, come quella di Hilbert, hanno affermato che
non c’ è altra alternativa che prendere queste proposizioni come assiomi di
geometria solida. Di questo libro mettiamo in evidenza la proposizione XI.33,
che è connessa al famoso problema della duplicazione del cubo:
PROPOSIZIONE XI.33: I solidi parallelepipedi simili stanno l’ uno con l’ altro
nel rapporto triplice dei loro lati corrispondenti.
Questa proposizione è l’ estensione al caso solido della proposizione VI.20 sui
poligoni simili. Nel piano il fattore di similitudine k per i segmenti dà k 2 per
le aree; ora abbiamo il fattore k 3 per i corrispondenti volumi di parallelepipedi
simili.
C’è un’ affermazione parallela nel libro VIII sui numeri simili solidi (focalizziamo
la nostra attenzione sui cubi e non sui parallelepipedi solidi e i numeri
solidi in generale; tranne che per qualche piccola modifica le dimostrazioni
sono le stesse per il caso speciale e per quello generale):
PROPOSIZIONE VIII.19: Tra due numeri simili solidi cadono due numeri
medi proporzionali, e il solido ha con il solido simile un rapporto triplice di
quello che il lato corrispondente ha con il lato corrispondente.
In terminologia moderna ciò si può spiegare così: siano a e b i lati dei cubi,
così che i ripettivi numeri (o volumi) cubi sono a 3 e b 3 ; la proposizione afferma
che ci sono due medi proporzionali, che implica che i cubi stanno “in rapporto
triplice” rispetto ai loro lati. Questo significa:
a 3 : a 2 b = a 2 b : ab 2 = ab 2 : b 3 ,
dove i numeri a 2 b e ab 2 sono i suddetti medi proporzionali. Nel problema
della duplicazione del cubo, i numeri a 3 = 2 e b 3 = 1 sono dati, ed a = 3√ 2 è il
numero cercato. Trasformando il problema originale in uno con due medi proporzionali,
esso è stato riportato in una versione che può essere maneggiata coi
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