Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

12.8.1 Costruzione dei numeri ordinali
Consideriamo la successione dei numeri naturali e il seguente
Primo principio di generazione: aggiunta di una unità ai numeri precedentemente
formati.
Partendo da 0 e utilizzando il principio appena definito, si ottiene la successione
1, 2, 3, ..., ν, ...
che identifica i numeri ordinali finiti.
Definizione 63. Si definisce la prima classe numerica (I) la successione 1,
2, 3,...,ν,...
A questo punto
« il numero ordinale dei numeri ν così formati della classe (I) è
infinito e non ce ne è un altro più grande. Sarebbe perciò contradditorio
parlare di un numero della classe (I) più grande, d’altra
parte non c’è niente di strano pensare ad un nuovo numero, chiamiamolo
ω, il quale deve essere l’espressione di tutta la (I) classe
[...]. Si immagina quindi ω come il limite a cui tendono i numeri ν,
se non si intende niente altro che ω come il primo numero intero,
che segue tutti i numeri ν e quindi è il più grande di qualsiasi altro
ν. »
Abbiamo così ottenuto un nuovo numero ω in modo del tutto naturale; applichiamo
allora il primo principio di generazione a ω. Costruiamo così i primi
numeri ordinali transfiniti:
ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω + ν, ...
Anche in questo caso Cantor osserva che non si arriva ad un numero massimo,
e dunque nuovamente non c’è nulla di male nel pensare ad un nuovo numero
che sia il più grande, ad esempio 2ω; esso deve essere il primo di tutti i numeri
ν e dei numeri ω + ν che seguono. Notiamo che ogni volta dovremmo applicare
il primo principio un numero infinito di volte prima di ottenere un nuovo
numero; per interrompere questo processo è necessario il
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