Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

e se Q è un insieme contenuto in P e R è l’insieme che rimane quando si sottrae
Q da P, scriveremo per uniformità
R ≡ P − Q.
Un insieme di punti Q che giaccia in uno spazio continuo n-dimensionale può
essere tale che nessuno dei punti che gli appartengono sia un suo punto limite;
chiamiamo isolato un simile insieme di punti, per il quale varrà
D(Q, Q ′ ) ≡ O.
Dato un qualsiasi insieme di punti P che non sia isolato, se ne ottiene un Q
isolato sottraendogli l’insieme D(P, P ′ ).
Vale dunque
Q ≡ P − D(P, P ′ )
e di conseguenza
P ≡ Q + D(P, P ′ ).
Ogni insieme di punti può quindi essere visto come l’unione di un insieme
isolato Q e di un altro insieme R che è divisore della sua derivata P ′ . Osserviamo
inoltre (ma su ciò abbiamo già richiamato più volte l’attenzione) che
ogni derivata superiore di P è contenuta nella precedente; ne segue che
P ′ − P ′′ , P ′′ − P ′′′ , ..., P (ν) − P (ν+1) , ...
sono tutti insiemi isolati.
Nel seguito useremo due importanti scomposizioni,
e
P ′ ≡ (P ′ − P ′′ ) + (P ′′ − P ′′′ ) + ... + (P (n−1) − P (n) ) + P (n)
P ′ ≡ (P ′ − P ′′ ) + (P ′′ − P ′′′ ) + ... + (P (ν−1) − P (ν) ) + ... + P (∞)
Per gli insiemi isolati vale il seguente
TeoremaI. Ogni insieme di punti isolato è numerabile e quindi appartiene alla
prima classe.
Dimostrazione. Siano Q un generico insieme di punti isolato posto in uno
spazio n-dimensionale, q uno dei suoi punti e q ′ , q ′′ , q ′′′ , ... gli altri suoi punti.
Le distanze qq ′ , qq ′′ , qq ′′′ , ... hanno un limite inferiore che indicheremo con ρ.
Siano, analogamente, ρ ′ il limite inferiore delle distanze q ′ q, q ′ q ′′ , q ′ q ′′′ , ..., ρ ′′ il
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