Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

siano associate in modo univoco e completo le nuove variabili x1, x2, . . . , xn e
t, ciascuna delle quali ammette, senza restrizioni, ogni valore reale ≥ 0 e ≤ 1.
Poiché sopra abbiamo costruito una corrispondenza biunivoca fra la variabile
d e il sistema delle n variabili el, e2, . . . , en, otteniamo una corrispondenza
univoca e completa fra la singola variabile continua t e il sistema delle n
variabili continue x1, x2, . . . , xn. Resta così provata la verità del teorema (A).
Resta, dunque, da dimostrare solamente il teorema (D). Per fare ciò useremo,
per brevità, una semplice terminologia che ora andiamo a descrivere.
Per molteplicità lineare di numeri reali intendiamo una qualsiasi molteplicità
ben definita di numeri reali distinti l’uno dall’altro per cui uno stesso numero
non occorrerà più di una volta in una molteplicità lineare. Tutte le variabili
reali che ci useremo in seguito saranno delle molteplicità lineari.
Diremo che due di tali variabili a e b non hanno connessione quando nessun
valore che possa essere assunto da a è uguale a un valore di b; in altre parole,
se a e b sono da considerare senza connessione gli insiemi dei valori ammissibili
di queste due variabili non hanno elementi comuni.
Se abbiamo una successione a ′ , a ′′ , a ′′′ , . . . , a ν , . . . finita o infinita, di variabili o
costanti ben definite e tutte senza connessione fra loro, possiamo da essa definire
una variabile a il cui ambito di variazione sia l’unione degli ambiti di variazione
delle a ′ , a ′′ , a ′′′ , . . . , a ν , . . . ; e una variabile a data può, viceversa, essere
scomposta nei modi più diversi in altre variabili a ′ , a ′′ , . . . senza connessione
fra loro. Esprimiamo in entrambi i casi la relazione fra a e a ′ , a ′′ , a ′′′ , . . . , a ν , . . .
con la formula:
a ≡ {a ′ , a ′′ , a ′′′ , . . . , a ν , . . . }.
La validità di questa formula comporta dunque:
1. che ognuno dei valori ammissibili per una qualsiasi delle variabili a ( ν)
sia anche un valore ammissibile della variabile a;
2. che ognuno dei valori che a può assumere sia assunto anche da una e una
sola delle grandezze a (ν) .
A titolo di illustrazione, siano per esempio φ una variabile che può prendere
tutti i valori numerici razionali ≥ 0 e ≤ 1, e una variabile che può prendere
tutti i valori irrazionali dell’intervallo [0, 1], e x una variabile che può prendere
tutti i valori numerici, razionali e irrazionali, che siano ≥ 0 e ≤ 1: abbiamo
allora
x ≡ {φ, e}
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