Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

2) Il numero degli intervalli è infinito.
La successione degli an è crescente ed è costretta nell’intervallo (a,b),
quindi ha limite finito a∞ := lim an. Analogamente si trova b∞.
- Se a∞ < b∞ ogni numero reale in (a∞, b∞) non è contenuto nella
sequenza data (procedendo come nel caso finito).
- Se a∞ = b∞, (caso che nella classe (ω) di tutti i numei reali algebrici
si verifica sempre) è facile vedere, se solo si tiene presente la
definizione degli intervalli, il numero µ non sta nella sequenza data.
Infatti se così fosse dovrebbe esistere k tale che a∞ = xk, ma per
un indice n abbastanza grande si ha che xk non cade in (an, bn),
mentre a∞ sì.
✷
Dopo aver analizzato l’articolo “ Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller
reellen algebraischen Zahlen”, Zermelo scrisse in una nota:
“Questo saggio, che inaugura la serie dei lavori di teoria degli insiemi,
ha ancora a che fare esclusivamente col concetto elementare
di “insieme numerabile”; vi si dimostra infatti che cadono sotto
questo concetto sia la totalità dei numeri razionali sia quella dei
numeri algebrici, ma non i numeri reali di un intervallo finito qualsiasi.
La prima dimostrazione, che stranamente è la sola a trovare
espressione nel titolo, è relativamente facile e anzi vien fuori da sé
dal concetto di numero algebrico, una volta posto il problema. La
prova della “non numerabilità” dei reali è invece riuscita a Cantor,
come egli stesso dichiara, con difficoltà e dopo alcuni tentativi
andati a vuoto. Oggi essa costituisce per noi, senza paragone, il
risultato più profondo di questa ricerca e anche nel metodo è tipica
di uno stile inferenziale specificamente insiemistico. Il concetto di
“numerabilità” acquista senso e importanza solo grazie alla dimostrazione
che esistono anche totalità matematiche “non numerabili”
ben definite, dopo di che la transizione al concetto generale
di “potenza” non è che il passo successivo. -In questo, che è un
lavoro di fondazione, la terminologia non è pienamente formata:
invece di “insieme” [Menge] Cantor dice “totalità” [Gesamtheit] o
classe [Inbegriff], e lo stesso temine “numerabile” [abzählbar] è ancora
assente - si parla sempre e soltanto di “associazione univoca”
425