Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

12.8 I numeri ordinali
Per capire al meglio come Cantor abbia cominciato a pensare ai numeri
ordinali, è necessario ricordare la seguente
Definizione 60. Dato l’insieme P, l’insieme derivato è l’insieme dei punti di
accumulazione di P.
In simboli, il primo insieme derivato si indica con P (1) , il secondo con P (2) ,
il terzo con P (3) , e così via. Questo processo di derivazione poteva continuare
nel caso che P (n) non fosse vuoto, ∀n numero naturale. Si definisce invece il
derivato infinito come:
P ∞ = �
P n
n∈N
che verrà indicato da Cantor con P (ω) . Ma P (ω) è ancora un insieme di punti,
per cui continuando a derivare si ottiene P (ω+1) , P (ω+2) ,... Questo processo
verrà giustamente definito da Zermelo il ‘germe embrionale della teoria degli
insiemi’.
Poiché ad ogni insieme ben definito spetta una determinata potenza per cui
a due insiemi viene attribuita la stessa potenza se questi si possono ordinare,
elemento per elemento, biunivocamente, l’intento di Cantor era quello di
riuscire a classificare gli insiemi in base alla loro potenza, dove:
Definizione 61. Un insieme si dice ben definito, in una determinata sfera
concettuale, quando, sulla base della sua definizione e del principio logico del
terzo escluso, è intrinsecamente determinato tanto se qualsiasi oggetto appartenga
o no a quell’insieme, quanto se due elementi dell’insieme siano uguali
oppure no.
L’idea di base era dunque quella di usare i numeri ordinali non solo per
ottenere insiemi di cardinalità crescente (le classi numeriche) ma anche per
numerare via via questa cardinalità (la prima classe numerica, la seconda classe
numerica,...) in modo da esaurire tutti i cardinali, e il passaggio consisteva
nell’associare ad ogni insieme derivato P (1) , P (2) ,... un numero ordinale finito:
P (1) , P (2) , P (3) , ...
↓ ↓ ↓
1 2 3, ...
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