Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Per ovviare a questa difficoltà Russell e Whitehead introdussero, a malincuore,
il controverso assioma di riducibilità. Tale assioma fa parte dei tre
assiomi extralogici introdotti da Russell e Whitehead.
Vediamo di cosa trattano.
Assioma di riducibilità Come visto sopra questo postulato sarà d’obbligo
per evitare le difficoltà incontrate dopo aver stratificato l’universo in tipi
e ordini.
Per rendere inoperante la distinzione in ordini nell’ambito di un tipo è
ragionevole individuare un ordine rappresentativo di tale tipo tale che
una volta individuato, una proprietà valida nell’ordine di quel rappresentante,
sia possibile estenderla anche agli altri ordini di quel tipo. Questo
ordine, detto ordine predicativo, è tale che individua enti del tipo dato
facendo riferimento ad elementi dell’ordine immediatamente precedente
(i differenti ordini di quel tipo possono essere ridotti all’ordine più basso
di quel tipo). Russell e Whitehead chiamano poi predicativo, un elemento
di un certo tipo quando è determinato da una condizione predicativa.
Allora, l’assioma di riduzione dice che per ogni classe di enti di un certo
tipo, esista una classe predicativa che è equiestensiva con essa.
In termini di funzioni proposizionali, indicando con φ! una funzione
predicativa, l’assioma di riducibilità assume la seguente forma
⊢ ∃µ∀x(φx ↔ µ!x)
ossia qualunque sia la funzione φ esiste una funzione predicativa µ che
risulta ad essa equivalente per ogni valore della variabile x.
Per semplificare la questione, diciamo che l’assioma di riducibilità afferma
che se x è un insieme qualunque e n è l’ordine dei suoi elementi, allora
esiste un insieme y che ha gli stessi elementi di x e che è di ordine n + 1
(“insieme predicativo”). Ogni funzione proposizionale è quindi estensionalmente
equivalente a una funzione predicativa, cioè a una funzione
di ordine immediatamente successivo a quello dei suoi argomenti(se gli
argomenti sono individui, una funzione predicativa è un predicato del
primo ordine). Una volta stabilite relazioni e proprietà per classi predicative,
sarà possibile estendere queste relazioni e proprietà a ogni ordine
grazie all’assioma di riducibilità.
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