Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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Bibliografia [1] T. Heath, A history of Greek Mathematics, Dover Publications, Vol. 1, (1981), pp. 218-270. [2] F. Enriques, Questioni riguardanti la Geometria Elementare, Zanichelli, (1900), pp.415-532. [3] F. Enriques, Questioni riguardanti le Matematiche Elementari, Zanichelli, (1987), pp.329-416, pp.509-574. [4] Lucas N.H. Bunt, Phillip S.Jones, Jack D. Benedient, Le radici storiche delle mate-matiche elementari, Zanichelli, (1987), pp. 99-138. [5] J. Gow, Greek mathematics, Chelsae Pubblishing Company, (1968), pp. 160-172, 180-183. [6] G.T. Bagni, Storia della matematica, Pitagora, Vol. 1, (1996), pp. 218-270. [7] H. Eves, An introduction to the history of mathematics, Holt, Rinehart and Winston, (1969), pp. 77-111. [8] L.Giacardi, S.C.Roero, La matematica delle civilt arcaiche, Edizioni Stampatori, (1979). [9] C.B.Boyer, Storia della matematica, Mondadori, (2009). [10] Informazioni trovate in rete. 254
<strong>Capitolo</strong> 8 La <strong>Matematica</strong> in Arabia e la nascita dell’Algebra 8.1 Introduzione. 8.1.1 Breve Storia dell’Arabia Medievale. di Fosco Loregian Si può senza tema di smentita affermare che la storia dell’Arabia come siamo abituati a pensarla inizi nel 622 d.C. con l’Egira, la fuga di Maometto a Medina dopo la quale si fonda lo stato che lo vede come capo. Lungi dall’essere un processo lento e indolore, un tale allontanamento dalla società del tempo, organizzata su base tribale, significava una aperta rottura dei vincoli con le suddette tribù, che esponeva a gravissimo rischio tutti coloro che a qualsiasi titolo avessero abbandonato nella Penisola araba il loro gruppo. Per sfuggire all’eventualità di ritorsioni di questo tipo, Maometto approfitta del’offerta fatta ai suoi fedeli dai clan dell’oasi-città di Yathrib (che poi verrà rinominata Medina) che si offrivano di dargli un comando politico oltre che spirituale sui suoi fedeli. Nel 632 d.C. Maometto muore, ma la sua nazione si prepara a far guerra a Bisanzio: si tratta di una vera guerra-lampo,con la quale nel giro di pochi giorni si espugnano Gerusalemme e Damasco, e dopo un’avanzata inarrestabile viene espugnata Alessandria. 255
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Università degli studi di Padova a
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2.2.4 Sistema di numerazione . . .
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5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
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9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
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13.2.2 I razionali . . . . . . . .
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19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
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1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
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Figura 1.2: Il sistema di numerazio
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della storia 9 . Il papiro di Ahmes
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sistemi in cui il valore di uno ste
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Figura 1.7: Un’incisione rupestre
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Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
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per costruire triangoli rettangoli
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usavano i numeri cardinali e non qu
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Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
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te da preoccupazioni di ordine mist
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delle date l’ordine e l’armonia
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almeno nella forma in cui noi la in
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Il quipu non poteva essere usato co
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Prima della seconda metà del XVI s
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La prima fonte scritta giunta fino
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2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
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scientifico, caratteri particolari
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zero si presentò quando le bacchet
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4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
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delle bacchette era analoga a quell
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Applicando la regola di Cramer si h
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egistrato nella prima riga, quella
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Si noti che un trattino diagonale i
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Attualmente scriveremmo questo prob
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Moista 3 , testo che ebbe pochissim
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si trova un’approssimazione sorpr
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terminata, che raggiunse un livello
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tro sottesi da esse, gli autori dei
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(a noi nota come equazione di Pell)
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specifici per indicare 4, 10 e 20;
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numeri che devono essere moltiplica
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“La fune tesa della diagonale di
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Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
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2.3.10 Il concetto di infinito Se l
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Capitolo 3 La matematica nella Grec
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certezza se Talete o Pitagora ne ab
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al servizio degli aristocratici. A
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degli aristocratici. Fra queste cit
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a.C.; le due maggiori città greche
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ed ai valori ideali ed eterni, disp
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• l’espansione verso Oriente e
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loro grandi biblioteche non fossero
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o più grandi maestri. Questo fenom
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Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
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Mileto rappresentava un grande cent
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Purtroppo Talete non ha scritto nul
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Per quel che riguarda il teorema 4,
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Â≪ ...stupefatto del modo in cui
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Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
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un segmento dato un rapporto fissat
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greci; non a caso Platone, uno dei
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studi medici era diffuso proprio ne
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• Gli acusmatici ( dal verbo grec
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proporzione 3 : 2 a indicare una re
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3.6.4 Il numero come principio dell
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del dispari, mentre il male, il dis
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1. E’ dato un numero figurato. Fi
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esempio 11; allora: e quindi Figura
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I pitagorici collegavano la distinz
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Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
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Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
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di cui una traduzione letteraria è
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e. Le nuove grandezze vennero chiam
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La sfida che i matematici greci si
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Bibliografia [1] Storia della Matem
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Il IV secolo si aprì con la morte
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4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
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Consideriamo un segmento di estremi
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Qual è la velocità di un punto de
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• Molti, come ad esempio Carl Boy
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linea e della superficie; la sua cr
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1. idee che si riferiscono ai valor
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ca e geometria tra le quattro mater
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- Ogni angolo di un pentagono regol
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4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
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frazioni, ossia a c b = d se e solo
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E poichè DG è maggiore di AH, se
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4.5 Il concetto di infinito nel pen
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Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
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nell’ ambito mentale, doveva esse
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giovane dei discepoli di Platone, m
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di qualcosa, e un problema, in cui
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sognerà quindi dedurle da proposiz
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• Nozioni speci che: verità che
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estremi.” Archimede e poi Legendr
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matematici moderni non fanno alcuna
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accettate senza dimostrazione, e ra
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espressi da Euclide, non garantisco
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venivano concepite come segmenti ch
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Viene spesso affermato che l’alge
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a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
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Siano i numeri piani a = cd e b = e
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matico in sè concluso, risalente p
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si hanno per resto misura la preced
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metodi tradizionali dei matematici
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Infatti passando dal segmento circo
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se a ha la parte aurea x, allora il
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Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
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6.1 Vita e morte Non sono molte le
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matematica antica proseguì le rice
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Archimede. Lo studio della spirale
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Page 258 and 259: Allora, chiaramente, se lungo ogni
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Page 306 and 307: punti) e la tangente. Significativo
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Page 310 and 311: Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
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fondamenti della fisica e dell’as
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Newton condivideva con il suo maest
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Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
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di qui deriva che si debbano in pri
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Leibniz fu uno dei più grandi inve
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9.3.1 Contesto storico e matematico
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Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
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allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
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Dopo aver definito cos’è una qua
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Figura 9.13: George Berkeley (1685
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tale quantità con una lettera pres
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Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
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predecessori e che era il suo vanto
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Egli era legato infatti al rigore a
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Riemann riuscì a legare molti risu
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10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
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si hanno quindi in questo secolo i
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Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
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un contributo dello stesso livello.
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soluzione nei complessi. Ricordiamo
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campo, magari nemmeno definito accu
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Riportiamo qui sotto una cartina de
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grado superiore al 5 ◦ è la memo
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Lagrange scrisse che Ruffini “non
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aritmetiche ripetute un numero fini
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infanzia. Compiuti gli studi a Gott
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Per semplicità, Gauss restrinse il
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La necessità di una profonda rifor
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con il loro significato originario,
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corpo a quattro dimensioni in cui v
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ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
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Teorema 15. Ogni algebra divisoria
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le proprietà topologiche della map
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simbolo 1. Nello specifico Boole in
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Boole Oggi Significato + ∪ unione
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“fondiamo la teoria dei numeri co
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“Quando confrontiamo i due grandi
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Gruppi di trasformazioni geometrich
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L’algebra passa da essere studio
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Una relazione ordinale del momento
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dove a è lo step corrispondente al
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E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
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caso della addizione algebrica, dal
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Solamente il caso che considera lo
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di due dfferenti steps. L’idea de
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Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
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Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
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12.2 Le opere Presentiamo qui di se
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Nella Theorie de la chaleur [8, (18
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altre serie della stessa forma che
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convergente per tutti i valori di x
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e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
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erne le tappe esula dagli scopi del
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dei numeri naturali. Tutti gli altr
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In seguito concentrò i propri sfor
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di accumulazione dei punti di accum
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12.4 La potenza di un insieme Gli s
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grande dell’insieme infinito di q
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o avranno uguale potenza M e una pa
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Figura 12.2: Numerazione dei razion
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di ogni ordine n, già aveva intuit
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[eindeutige Zuordnung] degli elemen
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a dare una risposta negativa che qu
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voi scrivete costantemente x = α1
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irrazionali dell’intervallo (0, 1
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Se a e b sono due grandezze variabi
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Basiamo la dimostrazione di (F) sul
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Per quanto affermato nel teorema (H
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“...se non si impone nessuna cond
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La biezione da prendere sarà dunqu
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nessun punto, e quindi a rigore nem
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proseguendo nello stesso modo otten
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al proprio interno punti di tale in
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li interi positivi. Io chiamo le mo
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che i punti ad esso appartenenti po
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e dell’autore (Mathem. Annalen, v
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limite inferiore delle distanze q
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un numero finito di intervalli con
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all’interno dell’intervallo (0,
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12.7 L’infinito Le prossime sezio
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concetto, che verrà poi ripreso da
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stesse sostanze create da Lui dal n
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Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
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12.8 I numeri ordinali Per capire a
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12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
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ma mostrarsi anche mezzo capace di
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di tutti i precedenti. Varrà dunqu
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• Si consideri un insieme ben def
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determinato da un numero di una cla
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ammette sempre e solo una soluzione
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Limitiamoci a considerare i numeri
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12.9 L’ipotesi del continuo In pr
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Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
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Capitolo 13 La costruzione dei nume
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y + x = 0, la ricerca delle soluzio
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• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
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Usando ripetutamente il fatto che h
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dell’aritmetica. L’addizione è
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1) dati tre punti p, q, r sulla ret
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Dato un razionale a possiamo costru
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dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
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oppositori. Muore nel 1918. A lui s
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Successioni di Cauchy Definizione 8
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per tali m, n abbiamo che |bm − b
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Siano (an) e (bn) due rappresentant
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• un minorante per A ⊆ X è un
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Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
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• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
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Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
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Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
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14.2 I paradossi “Il paradosso è
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paiano direttamente non significa c
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14.3 La crisi dei fondamenti della
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I paradossi della teoria di Cantor
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principio di comprensione. Il parad
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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15.2 Il V postulato di Euclide L’
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Teorema 105. A seconda che il quadr
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Sembrava quindi che la dimostrazion
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euclidee. Egli le aveva già costru
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e quei teoremi della geometria ordi
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L’angolo di parallelismo permette
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vamente alla geometria sviluppata d
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non-euclidei. Nella costruzione far
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Possiamo ora passare allo spazio pr
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1. Γ 2. non-degenere e non-definit
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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privata che offriva un curriculum m
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16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
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Quindi la proposta di Frege si era
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Tuttavia non erano d’accordo con
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1. Formalizzazione: fare in modo ch
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del Programma, anche nelle prime fa
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è impossibile. I diretti interessa
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Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
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di logica abbracciava la tesi che e
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i suoi principali artefici furono q
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a una definizione che ricorreva all
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tria - che, in accordo con Kant, ri
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membri. Possiamo definire il numero
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dell’analisi il concetto stesso d
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Innanzitutto, riducendo la forma lo
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“Piero” dalla funzione “( )
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• ⊢ (p → (q → r)) → ((p
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Figura 17.3: L’equivalente signif
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Concetto ed oggetto Concetto: in se
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Critica poi anche Cantor, nonostant
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Si dimostra che R determina una par
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conosciuta qualche qualità comune,
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se stesso”. w può essere predica
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La via d’uscita di Frege Il primo
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direzione in cui lui l’aveva cerc
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Figura 17.5: La curva di Peano dell
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condotte in un linguaggio simbolico
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3... qui 0 e 3 hanno lo stesso succ
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matematica veniva presentata come u
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al minimo l’uso e indagare quanto
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tipi. L’idea di fondo della teori
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Per ovviare a questa difficoltà Ru
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• ⊢ q → p ∨ q • ⊢ p ∨
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tra matematica e logica, per Quine,
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il lavoro di Russell, che nel fratt
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una giustificazione logica della ma
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Definizione 17.1 (Assioma della sce
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17.8 Neologicismo Crispin Wright (1
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Capitolo 18 L’intuizionismo 18.1
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ente cosiddetta dell’intuizionism
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per lasciare il posto ad un nuovo p
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za di Brouwer è il legame stretto
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dei suoi obiettivi principali era q
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che si manifesta nei casi in cui il
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Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
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Gödel frequentò abbastanza regola
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Su sollecitazione di Menger, egli s
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Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
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Figura 19.3: Metamatematica, aritme
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formule, ricavate una dall’altra
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Si vede chiaramente che non ci sono
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19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
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∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
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modo aggiungendo (γP A1) agli assi
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ma che è impossibile farlo usando
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Gödel era un platonista, ma si era
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corrisponde una formula aritmetica
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Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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