Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

una linea retta è di estensione infinita. Nel Postulato III si afferma che vi sono
circonferenze e che una circonferenza è determinata dal centro e dal raggio.
Aristotele aveva scritto che essendo uguali le altre cose è migliore quella dimostrazione
che procede da un minor numero di postulati. Euclide evidentemente
condivideva questo principio. Infatti il Postulato III viene interpretato in senso
strettamente letterale e viene descritto talvolta come l’uso del compasso
euclideo (pieghevole), le cui aste mantengono una apertura costante fintanto
che le punte toccano la carta, ma si richiudono l’una sull’altra quando vengono
sollevate. Ossia, il postulato non viene interpretato nel senso di permettere
l’uso di un compasso rigido per segnare una distanza, uguale a un segmento
rettilineo, su un altro segmento rettilineo più lungo che non sia contiguo.
Successivamente, nelle prime tre proposizioni del Libro I si dimostrerà che
quest’ultima costruzione è sempre possibile, anche dando una interpretazione
ristretta al Postulato III.
Questi primi tre postulati seguono quindi la visione aristotelica. I primi tre
Postulati devono essere considerati come nozioni specifiche nelle quali viene
asserita la costruibilità dei concetti fondamentali di segmento rettilineo, retta
e circonferenza.
I Postulati IV e V invece differiscono in modo così evidente dai primi tre, che
ci si deve chiedere perchè Euclide li abbia inclusi tutti in un unico elenco.
I primi tre Postulati sono postulati di esistenza e dunque nozioni specifiche nel
senso aristotelico. Ciò non è più vero per i Postulati IV e V. Nel IV Postulato
l’esistenza degli angoli retti non è enunciata, ma ci viene richiesto di ammettere
che tutti gli angoli retti sono congruenti. Nel V Postulato invece dobbiamo
ammettere che due linee rette, che soddisfano certi requisiti, posseggono un
punto di intersezione. Questi due postulati non sono quindi totalmente in
accordo con la visione aristotelica; infatti i Postulati IV e V non sono nozioni
comuni, poichè essi fanno riferimento esclusivamente alla geometria; non si
tratta neppure di nozioni specifiche, poichè il loro scopo non è di precisare il
significato o di stabilire l’esistenza di taluni concetti fondamentali del sistema
geometrico. Se Euclide fosse rimasto aderente alle prescrizioni aristoteliche,
avrebbe tralasciato i Postulati IV e V. È naturale quindi chiedersi perchè egli
gli aggiunse. La risposta è semplice. Egli non vedeva alcun modo di costruire
il suo sistema di geometria piana senza accettare i Postulati IV e V; ne vedeva
la possibilità di dimostrare la loro veridicità per mezzo di una dimostrazione
rigorosa. Così non gli rimase altra scelta che l’accettazione di tali Postulati,
e poichè essi sono in modo specifico proprietà geometriche le quali vengolo
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