Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

campo, magari nemmeno definito accuratamente, ma piuttosto una quantità
in generale, per esempio aritmetica o geometrica. Questo concetto si diffuse
ampiamente e verso la metà del 1700 apparve in molti libri di testo, quali Nouveaux
éléments d’algèbre di Jacques Ozanam e Eléments d’algèbre di Clairaut
con diverse sfumature.
Nel XVIII secolo esistevano quindi due complementari ma ben definiti concetti
di algebra: uno di questi considerava l’algebra come la scienza delle equazioni
e delle loro soluzioni, l’altro come la scienza delle quantità in generale.
Quest’ultimo concetto, algebra come “calcolo con le lettere”, divenne il fondamento
di tutte le matematiche. Va però osservato che questo fondamento
era ancora molto labile e problematico. Non esisteva ancora una struttura
logica ben definita per questa “arithmetica universalis”. Echi e suggestioni
linguistiche e logiche erano dominanti soprattutto nelle concezioni dell’algebra
che si vennero affermando in Germania, influenzate dalle speculazioni leibniziane
sulla mathesis universalis, l’ars inveniendi e la characteristica.
“Non puoi avere dubbi che ci sia una scienza superiore alla matematica e non
meno certa”, scriveva nel 1710 Leibniz al matematico tedesco Christian Wolff.
“La parte della logica che tratta dei modi e delle figure ne è un
modesto esempio... la stessa algebra mostra che si possono trattare
le forme e le similitudini non meno accuratamente delle quantità
e delle equazioni, dal momento che, ridotta a formule, essa appare
subordinata alla combinatoria”.
Ma l’ambizioso progetto liebniziano trovò solo una pallida risonanza nelle opere
di Wolff e Sturm, i quali tentarono di costruire un primo sistema assiomatico.
Ricordiamo che durante il XVIII secolo apparivano come assiomi anche asserzioni
come “Il tutto è più grande di ogni sua parte” e “Il tutto è uguale alla
somma di tutte le sue parti”. Erano poi considerati assiomi i seguenti:
1. a = a
2. a = b ⇒ b = a
3. a = b, a = c ⇒ b = c
4. a > b, b > c ⇒ a > c
5. a = b ⇒ a ± c = b ± c, a > b ⇒ a ± c > b ± c
6. a = b ⇒ a · c = b · c,
a
c
= b
c
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(c �= 0)