Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

[eindeutige Zuordnung] degli elementi di una totalità a quelli di
un’altra [...]”
Oltre alla dimostrazione pubblicata nell’articolo del 1874, alcuni anni dopo,
Cantor riuscì, con un’idea brillante, a provare questo stesso risultato.
Nel 1892 Cantor, infatti, pubblicò l’articolo Über eine elementare Frage der
Mannigfaltigkeitslehre, che contiene la famosa dimostrazione per diagonalizzazione
della non numerabilità dei reali. La ripercorreremo dando per buono
il risultato, precedentemente mostrato da Cantor, dell’equipotenza dei reali
R con qualsiasi intervallo aperto (a, b), a, b ∈ R, a < b (dimostreremo tale
risultato in seguito).
Dimostrazione (tramite diagonalizzazione). Dobbiamo mostrare che non
esiste nessuna biiezione tra R e N, ma siccome già sappiamo che R e l’intervallo
aperto (0, 1) sono in corrispondenza biunivoca, è sufficiente escludere
qualunque biiezione tra quest’ultimo e N. Prendiamo allora una qualunque
funzione f : N → (0, 1) e mostriamo che non può essere biiettiva, anzi, mostriamo
di più e proviamo che non puèo essere neppure suriettiva.
Per ottenere questo risultato, osserviamo che possiamo rappresentare ogni numero
reale r ∈ (0, 1) nella forma r = 0, a0a1a2 . . . an . . . , dove gli an sono
numeri naturali. Inoltre, pur essendoci numeri che hanno più di una rappresentazione
decimale, quelli che terminano con una sequenza infinita di 9 o 0,
conveniamo di prendere la rappresentazione che termina con 0.
Per ogni n naturale, dunque, il reale f(n) ∈ (0, 1) ammette la sua rappresentazione
decimale, che è anche unica, per quanto appena detto.
Costruiamo allora un nuovo numero reale r ∈ (0, 1) diverso da tutti gli f(n), e
quindi esterno all’immagine di f, nel modo seguente: la cifra di posto 0 dello
sviluppo decimale di r è diversa da quella di f(0), la cifra di posto 1 è differente
da quella di f(1), la cifra di posto n da quella corrispondente in f(n),
e così via. Il nostro r può essere esplicitamente costruito, e risulta diverso da
ogni f(n), perchè differisce da esso nella cifra n-esima dello sviluppo decimale
unico. Allora r non può appartenere all’immagine di f e f non è suriettiva. ✷
12.4.6 Le principali proprietà del continuo
In questo paragrafo presentiamo i due principali risultati dimostrati da
Cantor relativamente alla potenza del continuo: il primo riguarda la corrispondenza
biunivoca tra ogni segmento di retta e tutto R mentre nel secondo
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