Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

cui Cantor lo pubblicò nel suo articolo del 1878.
Poiché due figure continue con numero di dimensioni uguale possono essere
ridotte l’una all’altra in modo univoco e completo per mezzo di funzioni
analitiche, per provare che è possibile un’associazione univoca e completa di
figure con numeri di dimensioni diverse ci è utile la dimostrazione del seguente
teorema:
Teorema 48. (A) Se x1, x2, ..., xn sono grandezze reali variabili e reciprocamente
indipendenti per ciascuna delle quali sono ammissibili tutti i valori ≥ 0 e
≤ 1 e t è un’altra variabile con lo stesso ambito di variazione (0 ≤ t ≤ 1), è possibile
associare la grandezza unica t al sistema delle n grandezze x1, x2, ..., xn
in modo tale che a ogni valore determinato di t corrisponda un sistema di valori
x1, x2, ..., xn determinato e, viceversa, a ogni sistema di valori x1, x2, ..., xn
determinato corrisponda un certo valore di t.
Da tale teorema ne segue un altro che è il nostro obiettivo:
Teorema 49. (B) Una molteplicità continua estesa su n dimensioni può essere
associata in modo univoco e completo a una molteplicità continua a una
dimensione; due molteplicità continue, una di n e l’altra di m dimensioni,
dove n ≥ m on ≤ m, hanno potenza uguale; gli elementi di una molteplicità
continua estesa su n dimensioni sono determinabili univocamente mediante
un’unica coordinata reale continua t, ma possono essere determinati in modo
univoco e completo anche mediante un sistema tl, t2, . . . , tm di m coordinate
continue.
Per dimostrare (A) partiamo dal noto fatto che ogni numero irrazionale
e > 0, < 1 si può scrivere in modo unico come frazione continua infinita
1
x =
= (α0, α1, α2, ..., αν, ...) (12.10)
1
α0 +
1
α1 +
α2 + · · ·
con gli aν interi positivi. L’ultima uguaglianza è così in Cantor. Dunque ogni
numero irrazionale determina univocamente (α1, α2, α3, ..., αν, ...) e viceversa.
Siano ora e1, e2, ..., en n grandezze variabili, reciprocamente indipendenti,
ciascuna delle quali può prendere, una sola volta per uno, tutti i valori
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