Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• poi usa la definizione per astrazione ed ottiene la definizione di cardinale
(puro).
Per esempio, suppongo di voler definire la classe di tutti i mariti. Prima
di tutto definisco cosa vuol dire essere marito di qualcuno; poi definisco la
classe dei mariti come costituita da tutti coloro che sono marito di qualcuno.
La definizione non è circolare ma nei due casi si definiscono concetti(classi)
diverse.
Bisogna ora isolare all’interno di questi cardinali, i numeri naturali. Per
questo Frege userà la teoria delle successioni (teoria dell’induzione generalizzata).
Definito lo 0 come la classe delle classi vuote, Frege definisce l’operatore
di successore nel seguente modo: il successore del numero di una classe α è il
numero della classe formata da α e da un elemento x che non appartiene ad
α.
Frege poi, in questo modo dimostra che la successione dei naturali è infinita
e fa coincidere il concetto di numero naturale con quello di appartenenza a tale
successione che parte da 0 cioè un numero naturale è un qualunque oggetto
possa essere raggiunto a partire dallo 0 applicando un numero finito di volte
l’operatore di successore.
17.2.6 L’antinomia di Russell
Nel giugno del 1902 Frege ricevette la seguente lettera:
“Caro collega,... Mi trovo completamente d’accordo con lei su tutti
i punti essenziali, in modo particolare col suo rifiuto di ogni elemento
psicologico nella logica e col fatto di attribuire un grande valore
all’ideografia per quel che riguarda i fondamenti della matematica
e della logica formale, che, per inciso, si distinguono difficilmente
tra loro. Riguardo a molti problemi particolari trovo nella sua opera
discussioni, distinzioni e definizioni che si cercano invano nelle
opere di altri logici. Specialmente per quel che riguarda le funzioni
(cap. 9 del suo Begriffsschrift), sono giunto per mio conto a
concezioni identiche, perfino nei dettagli. C’è solo un punto in cui
ho trovato una difficoltà... a causa della seguente contraddizione.
Sia w il predicato “essere un predicato che non può predicarsi di
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