Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

se stesso”. w può essere predicato di se stesso? Da ciascuna risposta
segue l’opposto. Quindi dobbiamo concludere che w non è un
predicato. Analogamente non esiste alcuna classe (concepita come
totalità) formata da quelle classi che, pensate ognuna come totalità,
non appartengono a se stesse. Concludo da questo che in certe
situazioni una collezione definibile non costituisce una totalità.”
Il paradosso di Russell fu il primo paradosso logico della storia ad essere riconosciuto
come tale. Era semplice e non riguardava la teoria dei numeri transfiniti,
ma concetti, come quello di proprietà o di insieme, che erano divenuti
assolutamente centrali nella matematica dell’epoca. Servendosi degli insiemi,
Russell aveva potuto ricostruire i concetti fondamentali della matematica -
numeri cardinali, ordinali, naturali, reali, ecc. - ; ora scoprì che, servendosi di
essi, poteva essere ricavata anche una contraddizione. Fu, comprensibilmente,
un colpo molto duro.
Il paradosso di Russell è oggi notissimo. Alcune classi non sono membri
di sé stesse, altre invece lo sono. Per esempio, la classe degli uomini non è
membro di sé stessa, perché non è un uomo; la classe delle biciclette non è
membro di se stessa perché non è, a sua volta, una bicicletta. Ma la classe
di tutte le cose che non sono uomini non è un uomo, e quindi è un elemento
di se stessa; analogamente quella di tutte le cose che non sono biciclette. Si
noti che non sono solo classi definite da attraverso una negazione che possono
essere membri di se stesse; per esempio, la classe di tutte le classi che hanno
più di tre elementi ha certamente più di tre elementi, e quindi è membro di
se stessa; la classe di tutte le cose menzionate in questo paragrafo è a sua
volta menzionata in questo paragrafo, e quindi appartiene a se stessa; la classe
di tutte le cose definibili con esattamente dodici parole italiane, è una classe
descrivibile con esattamente dodici parole italiane, e quindi appartiene a se
stessa.
Supponiamo ora di formare la classe di tutte le classi che non sono membri
di se stessi. Si tratta senza dubbio delle classi di tipo più comune: la classe
degli uomini, quelle delle biciclette, quella delle cose rosse, e così via. Definiamo
cioè la classe w in modo che una classe appartenga ad w se e solo se non
appartiene a se stessa. Chiediamoci ora: la classe w è membro di se stessa
o no? Supponiamo dapprima che w sia elemento di w. Allora, dato che, per
definizione di w tutti gli elementi di w hanno la proprietà di non appartenere
a se stessi, se w è uno di questi elementi se ne deduce che w non è un elemento
di w. Dall’ipotesi che w è un elemento di w se ne deduce quindi che w non è
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