Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

cioè un cubo di spigolo x equivalente ad m volte un cubo di spigolo a. Allora
ponendo m = 2, cioè b = 2a, si ottiene
x 3 = 2a 3
e si ricade nel problema della duplicazione del cubo poiché x è il lato di un
cubo avente volume doppio rispetto a quello di lato a.
Dunque Ippocrate dimostrò che il problema della duplicazione del cubo
equivale a trovare x tale che, detto a il lato del cubo dato, soddisfi
a : x = x : y = y : 2a.
La difficoltà era soltanto cambiata di forma e non si era conseguito altro vantaggio
che quello di presentare la questione primitiva come un problema di
geometria piana, anziché solida.
Archita di Taranto
La soluzione di Archita di Taranto (428-347 a.C.) è la più notevole fra
tutte, specialmente quando si considera la sua data (prima metà del IV secolo
a.C.), poiché non è una costruzione piana ma una costruzione in tre dimensioni.
Si determinano i punti necessari alla costruzione tramite l’intersezione di tre
superfici di rivoluzione, un cono retto, un cilindro e un toro. Il risultato
raggiunto da Archita appare ancora più straordinario se si tiene presente che
egli giunse alla sua soluzione per via sintetica, senza l’aiuto delle coordinate
cartesiane.
L’intersezione del cilindro e del toro descrive una certa curva detta curva
di Archita (che è una curva con doppia curvatura), e il punto cercato il punto
in cui il cono incontra questa curva.
Supponiamo che AC, AB siano i due segmenti fra cui si devono trovare i
due medi proporzionali; sia AC il diametro di un cerchio e AB una sua corda.
Si disegni un semicerchio con AC come diametro, ma in un piano ortogonale
al piano del cerchio ABC, e si immagini questo cerchio ruotare attorno
alla retta passante per A perpendicolare al piano di ABC (così si descrive
metà di un toro con diametro interno nullo).
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