С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 99этой производной в заданной точке. Необходимость выполнения дифференцированиявозникает весьма часто и вызвана огромным распространениемэтой операции в современной математике и её приложениях.Производная бывает нужна и сама по себе, как мгновенная скоростьтех или иных процессов, и как вспомогательное средство дляпостроения более сложных процедур, например, в методе Ньютона длячисленного решения уравнений и систем уравнений (см. §§4.4г и 4.5б).В настоящее время наиболее распространены три следующих способавычисления производных:• символьное (аналитическое) дифференцирование,• численное дифференцирование,• алгоритмическое (автоматическое) дифференцирование.Символьным (аналитическим) дифференцированием называют процесспостроения по функции, задаваемой каким-то выражением, производнойфункции, основываясь на известных из математического анализаправилах дифференцирования составных функций (суммы, разности,произведения, частного, композиции, обратной функции и т. п.)и известных производных для простейших функций. Основы символьного(аналитического) дифференцирования являются предметом математическогоанализа (точнее, дифференциального исчисления), а болеепродвинутые результаты по этой теме входят в курсы компьютернойалгебры.На принципах, похожих на символьное (аналитическое) дифференцирование,основывается алгоритмическое (автоматическое) дифференцирование,но при этом оперируют не выражениями для производных,а их численными значениями при данных значениях аргументов функции.Как символьное (аналитическое) дифференцирование, так и алгоритмическое(автоматическое) дифференцирование требуют знаниявыражения для функции или хотя бы компьютерной программы дляеё вычисления. Мы кратко рассмотрим алгоритмическое дифференцированиев §2.9.Численным дифференцированием называется процесс нахождениязначения производной от функции, использующий значения этой функциив некотором наборе точек её области определения. Таким образом,если функция задана таблично, т. е. лишь на конечном множествезначений аргумента, либо процедура определения значений этой