С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

396 3. Численные методы линейной алгебрыПример 3.16.4 Вещественная 20×20-матрица⎛⎞20 20019 2018 20. .. . , ..⎜⎟⎝ 2 20 ⎠ε 1в которой ненулевыми являются две диагонали — главная и верхняяпобочная, а также первый в последней строке элемент ε, называетсяматрицей Уилкинсона (см. [42]). При ε = 0 эта матрица имеет, очевидно,различные собственные значения 1, 2, . . . , 18, 19, 20. Но в общемслучае характеристическое уравнение матрицы Уилкинсона есть(20−λ)(19−λ)...(1−λ)−20 19 ε = 0,и его свободный член, который равен 20!−20 −19 ε, зануляется при ε =20 −19 ·20! ≈ 4.64·10 −7 . Как следствие, матрица будет иметь при этомнулевое собственное значение, т. е. сделается особенной. Величина возмущения, изменившего в рассмотренном примере наименьшеесобственное значение с 1 до 0, примерно равна одинарнойточности представления на цифровых ЭВМ машинных чисел в районеединицы согласно стандартам IEEE 754/854. Как видим, несмотряна то, что все собственные числа матрицы различны и, следовательно,являются гладкими функциями от элементов матрицы, скорость их изменениянастолько велика, что практически мы как будто имеем делос разрывными функциями.3.16г Круги ГершгоринаПусть A = (a ij ) — квадратная матрица из R n×n или C n×n . Еслиλ ∈ C — её собственное значение, тоAv = λv (3.142)для некоторого собственного вектора v ∈ C n . Предположим, что в vнаибольшее абсолютное значение имеет компонента с номером l, такчто |v l | = max 1≤j≤n |v j |.