С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 279(3.53) прямого хода метода Гаусса зануление поддиагональных элементовпервых столбцов уже учтено нижней границей внутреннего циклапо k, которая равна j +1.Помимо изложенной выше вычислительной схемы существует многодругих версий метода Гаусса. Весьма популярной является, к примеру,схема единственного деления. При выполнении её прямого ходасначала делят первое уравнение системы на a 11 ≠ 0, что даётx 1 + a 12a 11x 2 +···+ a 1na 11x n = b 1a 11. (3.55)Умножая затем уравнение (3.55) на a i1 и вычитая результат из i-гоуравнения системы для i = 2,3,...,n, добиваются обнуления поддиагональныхэлементов первого столбца. Затем процедура повторяется вотношении 2-го уравнения и 2-го столбца получившейся СЛАУ, и такдалее. Обратный ход совпадает с (3.54).Схема единственного деления совершенно эквивалентна алгоритму(3.53) и отличается от него лишь тем, что для каждого столбца делениев ней выполняется действительно только один раз, тогда каквсе остальные операции — это умножение и сложение. С другой стороны,уравнения преобразуемой системы в схеме единственного делениядополнительно масштабируются диагональными коэффициентами принеизвестных, и в некоторых случаях это бывает нежелательно.3.6в Матричная интерпретация метода ГауссаУмножение первого уравнения системы на r i1 = −a i1 /a 11 и сложениеего с i-ым уравнением могут быть представлены в матричном видекак умножение обеих частей системы Ax = b слева на матрицу⎛⎞100 1. . .. r i1 1,⎜⎝ . 1 ⎟⎠0 0 1которая отличается от единичной матрицы наличием одного дополнительногоненулевого элемента r i1 на месте (i,1). Исключение поддиа-