С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

240 3. Численные методы линейной алгебрыПриступая к обоснованию субмультипликативности, отметим, чтопо самому построению ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ′ ‖x‖ для любого вектора x. По этойпричине‖AB‖ ′ = max ‖(AB)y‖ = ‖ABz‖ для некоторого z с ‖z‖ = 1‖y‖=1≤ ‖A‖ ′ ·‖Bz‖ ≤ ‖A‖ ′ · max‖z‖=1 ‖Bz‖ = ‖A‖′ ‖B‖ ′ .Это завершает доказательство предложения.Доказанный результат мотивируетОпределение 3.3.5 Матричная норма, определяемая для заданнойвекторной нормы ‖·‖ на линейном векторном пространстве X как‖A‖ ′ = maxx≠0‖Ax‖‖x‖ = max‖y‖=1 ‖Ay‖,называется подчинённой к ‖·‖ матричной нормой (или индуцированной,или операторной нормой).Последний термин — операторная норма — популярен потому, чтоконструкция этой нормы хорошо отражает взгляд на матрицу как наоператор, задающий отображения линейных векторных пространствR n → R m или C n → C m . Операторная норма показывает максимальнуювеличину растяжения по норме, которую получает в сравнении сисходным вектором его образ при действии данного оператора.Несмотря на хорошие свойства подчинённых матричных норм, ихопределение не отличается большой конструтивностью, так как привлекаетоперацию взятия максимума. Естественно задаться вопросомо том, существуют ли вообще достаточно простые и обозримые выражениядля матричных норм, подчинённых тем или иным векторнымнормам. Какими являются подчинённые матричные нормы для рассмотренныхвыше векторных норм ‖·‖ 1 , ‖·‖ 2 и ‖·‖ ∞ ? С другой стороны,являются ли матричные нормы ‖A‖ F (фробениусова) и ‖A‖ maxподчинёнными для каких-либо векторных норм?Ответ на последний вопрос отрицателен. В самом деле, для единичнойn×n-матрицы I имеем‖I‖ max = n, ‖I‖ F = √ n,