С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

386 3. Численные методы линейной алгебрыСистема уравнений (3.136) кажется недоопределёной, так как содержитn+1 неизвестных, которые нужно найти из n уравнений. Нона самом деле можно замкнуть её, к примеру, каким-нибудь условиемнормировки собственных векторов (‖v‖ = 1 в какой-то норме) илитребованием, чтобы какая-нибудь компонента v принимала бы заданноезначение. Последнее условие иногда даже более предпочтительноввиду своей линейности.Даже если рассматриваемая матрица A имеет все элементы вещественными,могут не существовать вещественные λ и v, удовлетворяющиесоотношению (3.136). По этой причине целесообразно рассматриватьзадачу определения собственных чисел λ и собственных векторовv в поле комплексных чисел C, которое алгебраически замкнуто. 27 Изкурса линейной алгебры читателю должно быть известно, что задачанахождения собственных значений матрицы A эквивалентна задаченахождения корней уравненияdet(A−λI) = 0,называемого характеристическим (или вековым) уравнением для матрицыA.Иногда при упоминании этой задачи подчёркивают — «алгебраическаяпроблема собственных значений», чтобы уточнить, что речь идёто матрицах конечных размеров, конечномерной ситуации и т. п. в отличие,скажем, от задачи нахождения собственных значений операторовв бесконечномерных пространствах функций. Слово «проблема» такжеуместно в этом контексте, поскольку рассматриваемая задача сложнаи имеет много аспектов.Различают полную проблему собственных значений и частичнуюпроблему собственных значений. В полной проблеме требуется нахождениевсех собственных чисел и собственных векторов. Частичная проблемасобственных значений — это задача нахождения некоторых собственныхчисел матрицы и/или некоторых собственных векторов. Кпримеру, наибольшего по модулю собственного значения, или несколькихнаибольших по модулю собственных значений и соответствующихим собственных векторов.Собственные значения матриц нужно знать во многих приложениях.Например, задача определения частот собственных колебаний ме-27 Напомним, что алгебраически замкнутым называется поле, в котором в которомвсякий многочлен ненулевой степени с коэффициентами из этого поля имеетхотя бы один корень.