С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

288 3. Численные методы линейной алгебрыСледовательно, используя правила перемножения матриц по блокам,необходимо имеемA n−1 = L n−1 U n−1 , (3.61)z = L n−1 y, (3.62)v = xU n−1 , (3.63)a nn = xy +l nn u nn . (3.64)Первое из полученных соотношений выполнено в силу индукционногопредположения, причём оно должно однозначно определять L n−1и U n−1 , если потребовать по диагонали в L n−1 единичные элементы.Далее, по условию теоремы detA n−1 ≠ 0, а потому матрицы L n−1 иU n−1 также должны быть неособенны. По этой причине системы линейныхуравнений относительно x и y —xU n−1 = v и L n−1 y = z,которыми являются равенства (3.62)–(3.63), однозначно разрешимы.Стоит отметить, что именно в этом месте доказательства неявно используетсяусловие теоремы, которое требует, чтобы в матрице A всеведущие миноры порядков, меньших чем n, были ненулевыми.Найдя из (3.62)–(3.63), векторы x и y, мы сможем из соотношения(3.64) восстановитьl nn и u nn . Если дополнительно потребоватьl nn = 1,то значение u nn находится однозначно и равно (a nn −xy). В Теореме 3.6.2 не требуется неособенность всей матрицы A. Издоказательства нетрудно видеть, что при наложенных на A условияхеё LU-разложение будет существовать даже при detA = 0, но тогда вматрице U последний элемент u nn будет равен нулю.В связи с матрицами, имеющими ненулевые ведущие миноры, полезноследующееОпределение 3.6.1 Квадратная n×n-матрица A = (a ij ) называетсястрого регулярной (или строго неособенной), если все её ведущиеминоры, включая и определитель самой матрицы, отличны от нуля,т.е.( )a11 aa 11 ≠ 0, det 12≠ 0, ... , detA ≠ 0.a 21 a 22