С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

366 3. Численные методы линейной алгебрыуравнений, то Ax ⋆ = b, и потому‖Ax−b‖ 2 2 = 〈Ax−b,Ax−b〉 = 〈Ax−Ax⋆ ,Ax−Ax ⋆ 〉= 〈A(x−x ⋆ ),A(x−x ⋆ )〉 = 〈 A ⊤ A(x−x ⋆ ), x−x ⋆〉= ‖x−x ⋆ ‖ 2 A ⊤ A . (3.115)Если уже найдено x (k) , и мы желаем выбрать параметр τ так, чтобына следующем приближении x (k) − τr (k) минимизировать 2-нормуневязки решения, то необходимо найти минимум по τ для выражения∥ A(x (k) −τr (k) )−b ∥ ∥ 2 2 = 〈 A(x (k) −τr (k) )−b,A(x (k) −τr (k) )−b 〉= τ 2 〈Ar (k) ,Ar (k) 〉−2τ ( 〈Ax (k) ,Ar (k) 〉−〈b,Ar (k) 〉 )+〈Ax (k) ,Ax (k) 〉+〈b,b〉.Дифференцируя его по τ и приравнивая производную нулю, получим2τ〈Ar (k) ,Ar (k) 〉−2 ( 〈Ax (k) ,Ar (k) 〉−〈b,Ar (k) 〉 ) = 0,что с учётом равенства Ax (k) −b = r (k) даётОкончательноτ 〈Ar (k) ,Ar (k) 〉−〈r (k) ,Ar (k) 〉 = 0.τ = 〈Ar(k) ,r (k) 〉〈Ar (k) ,Ar (k) 〉 = 〈Ar(k) ,r (k) 〉‖Ar (k) ‖ 2 .2Теорема 3.10.2 Если A — симметричная положительно определённаяматрица, то последовательность {x (k) }, порождаемая методомминимальных невязок, сходится к решению x ⋆ системы уравненийAx = b из любого начального приближения x (0) , и быстрота этойсходимости оценивается неравенством‖x (k) −x ⋆ ‖ A⊤ A ≤( ( µ) ) 2 k/21− ‖x (0) −x ⋆ ‖MA⊤ A, (3.116)k = 0,1,2,..., где µ, M — нижняя и верхняя границы спектра матрицыA.