С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 237определённая на множестве квадратных n × n-матриц, является аналогомчебышёвской нормы векторов ‖·‖ ∞ , отличаясь от неё лишь постоянныммножителем для матриц фиксированного размера. По этойпричине выполнение первых трех аксиом матричной нормы для‖A‖ maxочевидно. Но необходимость удовлетворить аксиоме субмультипликативностивызывает появление в выражении для ‖A‖ max множителя nперед max |a ij |:∣)‖AB‖ max = n maxi,j≤ n( n∑k=1≤ n 2 maxi,jn∑∣k=1a ik b kj∣ ∣∣∣∣≤ n maxi,jmaxi,k |a ik| maxk,j |b kj|)(∑ n|a ik ||b kj |k=1|a ij | max|b ij | = ‖A‖ max ‖B‖ max .i,jЯсно, что без этого множителя выписанная выше цепочка неравенствбыла бы неверной.Небольшая модификация проведённых выкладок показывает также,что норма ‖A‖ max согласована с чебышёвской нормой векторов.Кроме того, несложно устанавливается, что ‖A‖ max согласована с евклидовойвекторной нормой.В связи с последним примером, следует отметить, что аксиома субмультипликативностиМН4 накладывает на матричные нормы болеесерьёзные ограничения, чем может показаться на первый взгляд. Вчастности, матричные нормы нельзя произвольно масштабировать, умножаяна какое-то число.Оказывается, среди матричных норм квадратных матриц нет таких,которые не были бы ни с чем согласованными. Иными словами,справедливоПредложение 3.3.4 Для любой нормы квадратных матриц можноподобрать подходящую норму векторов, с которой матричная нормабудет согласована.Доказательство. Для данной нормы ‖·‖ ′ на множестве n×n-матрицопределим норму ‖v‖ для n-вектора v как ‖(v,v,...,v)‖ ′ , т. е. как нормуматрицы (v,v,...,v), составленной из n штук векторов v как из