С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 323иных специальных систем уравнений, как трёхдиагональных, так и болееобщих, имеющих ленточные или даже блочно-ленточные матрицы[17]. В частности, существует метод матричной прогонки [27].3.9 Стационарные итерационные методыдля решения линейных систем3.9а Краткая теорияИтерационные методы решения уравнений и систем уравнений —это методы, порождающие последовательность приближений {x (k) } ∞ k=0к искомому решению x ⋆ , которое получается как пределx ⋆ = limk→∞ x(k) .Допуская некоторую вольность речи, обычно говорят, что «итерационныйметод сходится», если к пределу сходится конструируемая импоследовательность приближений {x (k) }.Естественно, что на практике переход к пределу по k → ∞ невозможенв силу конечности объема вычислений, который мы можем произвести.Поэтому при реализации итерационных методов вместо x ⋆ обычнодовольствуются нахождением какого-то достаточно хорошего приближенияx (k) к x ⋆ . Здесь важно правильно выбрать условие остановкиитераций, при котором мы прекращаем порождать очередные приближенияи выдаём x (k) в качестве решения. Подробнее мы рассмотримэтот вопрос в §3.14.Общая схема итерационных методов выглядит следующим образом:выбираются одно или несколько начальных приближений x (0) , x (1) ,. . . , x (m) , а затем по их известным значениям последовательно вычисляютсяx (k+1) ← T k (x (0) ,x (1) ,...,x (k) ), k = m,m+1,m+2,..., (3.91)где T k — отображение, называемое оператором перехода или операторомшага (k-го). Конечно, в реальных итерационных процессах каждоеследующее приближение, как правило, зависит не от всех предшествующихприближений, а лишь от какого-то их фиксированного конечногочисла. Более точно, итерационный процесс (3.91) называютp-шаговым,если его последующее приближение x (k+1) является функцией только