С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

462 4. Решение нелинейных уравнений и их системСледует отметить, что математики, к сожалению, не придерживаютсяздесь единой терминологии. Ряд авторов (см. [46]) за матрицей Pиз (4.14) закрепляют отдельное понятие «оператора Липшица (матрицыЛипшица) отображенияg», и в условиях Определения 4.4.1 говорят,что «оператор Липшица для g сжимающий».Теорема 4.4.5 (теорема Шрёдера о неподвижной точке) Пусть отображениеg : R n ⊇ X → R n является P-сжимающим на замкнутомподмножестве X пространства R n с мультиметрикой Dist. Тогдадля любого x (0) последовательность итерацийx (k+1) = g(x (k) ), k = 0,1,2,...,сходится к единственной неподвижной точке x ∗ отображения g в Xи имеет место оценкаDist(x (k) ,x ∗ ) ≤ (I −P) −1 P ·Dist(x (k) ,x (k−1) ).Доказательство можно найти, например, в книгах [1, 18, 27, 46]4.4г Метод Ньютона и его модификацииПредположим, что для уравнения f(x) = 0 с вещественнозначнойфункцией f известно некоторое приближение ˜x к решению x ∗ . Если f— плавно меняющаяся (гладкая функция), то естественно приблизитьеё в окрестности точки ˜x линейной функцией, т. е.f(x) ≈ f(˜x)+f ′ (˜x)(x− ˜x),и далее для вычисления следующего приближения к x ∗ решать линейноеуравнениеf(˜x)+f ′ (˜x)(x− ˜x) = 0.Отсюда очередное приближение к решениюИтерационный процессx = ˜x− f(˜x)f ′ (˜x) .x (k+1) ← x (k) − f(x(k) )f ′ (x (k) ) , k = 0,1,2,...,