С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

374 3. Численные методы линейной алгебрыТогда в пределе, при занулении ∂x/∂t, имеемB −1 Ax = B −1 b.откуда видно, что матрица B выполняет роль, аналогичную роли предобуславливающейматрицы для системы Ax = b.Отметим в заключение темы, что для решения систем линейных алгебраическихуравнений, возникающих при дискретизации уравненийв частных производных эллиптического типа, предельно эффективнымиявляются так называемые многосеточные методы, предложенныеР.П. Федоренко в начале 60-х годов XX века.3.12 Теория А.А. СамарскогоМы уже отмечали, что системы линейных алгебраических уравнений,которые необходимо решать на практике, часто бывают заданынеявно, в операторном виде. При этом мы не можем оперировать итерационнымиформулами вида (3.91) с явно заданным оператором T k(наподобие (3.92)). Для подобных случаев А.А. Самарским была предложенаспециальная каноническая форма одношагового линейного итерационногопроцесса, предназначеного для решения систем уравненийAx = b:B kx (k+1) −x (k)τ k+Ax (k) = b, k = 0,1,2,..., (3.123)где B k , τ k — некоторые последовательности матриц и скалярных параметровсоответственно, причём τ k > 0. Мы будем называть её каноническойформой Самарского. Если x (k) сходится к пределу, то принекоторых необременительных условиях на B k и τ k этот предел являетсярешением системы линейных алгебраических уравнений Ax = b.Различные последовательности матриц B k и итерационных параметровτ k задают различные итерационные методы. Выбирая начальноезначение x (0) , находим затем из (3.123) последовательные приближениякак решения уравненийB k x (k+1) = ( B k −τ k I ) x (k) +τ k b, k = 0,1,2,....Ясно, что для однозначной разрешимости этой системы уравнений всематрицы B k должны быть неособенными. Итерационный метод в фор-