С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

438 4. Решение нелинейных уравнений и их системнию. Такова хорошо известная функция знака числа⎧⎨ −1, если x < 0,sgn x = 0, если x = 0,⎩1, если x > 0.Аналогична функция модуля числа |x|, с которой в обычных и внешнепростых выражениях могут быть замаскированы разрывы и ветвления.Например, таково частное sinx/|x|, которое ведёт себя в окрестностинуля примерно как sgn x.Для систем нелинейных уравнений, могущих иметь неединственноерешение, топологию на множестве ответов A нужно задавать ужекаким-либо расстоянием между множествами, например, с помощьютак называемой хаусдорфовой метрики [8]. Напомним её определение.Если задано метрическое пространство с метрикой ̺, то расстояниемточки a до множества X называется величина ̺(a,X), определяемаякак inf x∈X ̺(a,x). Хаусдорфовым расстоянием между компактнымимножествами X и Y называют величину{}̺(X,Y) = max max̺(x,Y), max ̺(y,X) .x∈X y∈YПри этом ̺(X,Y) = +∞, если X = ∅ или Y = ∅. Введённая таким образомвеличина действительно обладает всеми свойствами расстоянияи может быть использована для задания топологии на пространствахрешений тех задач, ответы к которым неединствены, т. е. являются целымимножествами.4.2б Задача решения уравнений не являетсявычислительно-корректнойУже простейшие примеры показывают, что задача решения уравненийи систем уравнений не является вычислительно-корректной. Например,квадратное уравнениедляx 2 +px+q = 0 (4.5)p 2 = 4q (4.6)имеет лишь одно решение x = −p/2. Но при любых сколь угодно малыхвозмущениях коэффициента p и свободного члена q, нарушающих