С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 335Определение 3.9.2 Расщеплением квадратной матрицы A называетсяеё представление в виде A = G+(−H) = G−H, где G — неособеннаяматрица.Если известно некоторое расщепление матрицы A, A = G − H, товместо исходной системы Ax = b мы можем рассмотретькоторая равносильнатак что(G−H)x = b,Gx = Hx+b,x = G −1 Hx+G −1 b.На основе полученного рекуррентного вида можно организовать итерацииx (k+1) ← G −1 Hx (k) +G −1 b, (3.97)задавшись каким-то начальным приближением x (0) . Таким образом,всякое расщепление матрицы СЛАУ помогает конструированию итерационныхпроцессов.Но практическое значение имеют не все расщепления, а лишь те, вкоторых матрица G обращается «относительно просто», чтобы организацияитерационного процесса не сделалсь более сложной задачей, чемрешение исходной СЛАУ. Другое требование к матрицам, образующимрасщепление, состоит в том, чтобы норма обратной для G, т. е. ‖G −1 ‖,была «достаточно малой», поскольку ‖G −1 H‖ ≤ ‖G −1 ‖‖H‖. Если G −1имеет большую норму, то может оказаться ρ(G −1 H) > 1, и для итерационногопроцесса (3.97) не будут выполнеными условия сходимости.Очень популярный способ расщепления матрицы A состоит в том,чтобы сделать элементы в G = (g ij ) и H = (h ij ) взаимнодополнительными,т. е. такими, что g ij h ij = 0 для любых индексов i и j. Тогданенулевые элементы матриц G и (−H) совпадают с ненулевыми элементамиA.В качестве примеров несложно обращаемых матриц можно указать201) диагональные матрицы,2) треугольные матрицы,20 Обратная матрица очень просто находится также для ортогональных матриц,но они не очень хороши для расщепления, так как норма обратной для них не мала.