С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

236 3. Численные методы линейной алгебрыРассмотрим примеры конкретных матричных норм.Пример 3.3.1 Фробениусова норма матрицы A = (a ij ) определяетсякак‖A‖ F =( ∑i,j|a ij | 2 ) 1/2.Ясно, что она удовлетворяет первым трём аксиомам матричной нормыпросто потому, что задаётся совершенно аналогично евклидовой векторнойнорме ‖·‖ 2 . Для обоснования свойства субмультипликативностирассмотрим‖AB‖ 2 F = ∑ ∑∣ ∣∣∣ ∣ a ik b kj2.i,jВ силу неравенства Коши-Буняковского (3.16)∑∣ ( )(∣∣∣2 ∑ ∑ ∣ a ik b kj ≤ a 2 ikkk lпоэтому( ∑kk)( ∑l)b 2 lj),‖AB‖ 2 F ≤ ∑ i,ja 2 ikb 2 lj= ∑a 2 ik b2 lj =i,j,k,l= ‖A‖ 2 F ‖B‖ 2 F,( ∑i,ka 2 ik)( ∑l,jb 2 lj)что и требовалось.Если считать, что B — это матрица размера n×1, т. е. вектор длиныn, то выполненные оценки показывают, что фробениусова норма матрицысогласована с евклидовой векторной нормой ‖·‖ 2 , с которой онасовпадает для векторов.Пример 3.3.2 Матричная норма‖A‖ max = n max|a ij |,i,j