С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

292 3. Численные методы линейной алгебрыи потомуA = LU = LDL ⊤ . (3.66)Ясно, что в силу неособенностиL и U матрица D также неособенна,так что по диагонали у неё стоят ненулевые элементы d i , i = 1,2,...,n.Более того, мы покажем, что все d i положительны.Из (3.66) следует, что D = L −1 A(L ⊤ ) −1 = L −1 A(L −1 ) ⊤ . Следовательно,для любого ненулевого вектора x〈Dx,x〉 = x ⊤ Dx = x ⊤ L −1 A(L −1 ) ⊤ x = ( (L −1 ) ⊤ x ) ⊤A((L −1 ) ⊤ x ) > 0,так как (L −1 ) ⊤ x ≠ 0 в силу неособенности матрицы (L −1 ) ⊤ . Инымисловами, диагональная матрица D положительно определена одновременнос A. Но тогда её диагональные элементы обязаны быть положительными,так как в противном случае, если предположить, что d i ≤ 0для некоторого i, то, беря вектор x равным i-му столбцу единичнойматрицы, получим〈Dx,x〉 = (Dx) ⊤ x = x ⊤ Dx = d i ≤ 0.Это противоречит положительной определённости матрицы D.Как следствие, из диагональных элементов матрицы D можно извлекатьквадратные корни. Если обозначить получающуюся при этомдиагональную матрицу через √ D := diag{ √ d 1 , √ d 2 ,..., √ d n }, то окончательноможем взять C = L √ D. Это представление для множителяХолесского, в действительности, единственно, так как по A при сделанныхнами предположениях единственным образом определяется нижняятреугольная матрица L, а матричные преобразования, приведшиек формуле (3.66) и её следствиям, обратимы и также дают однозначноопределённый результат.3.6ж Метод ХолесскогоДоказанная теорема мотивирует прямой метод решения систем линейныхуравнений, который аналогичен методу (3.59) на основе LUразложения.Именно, если разложение Холесского уже найдено, то решениеисходной СЛАУ Ax = b, равносильной CC ⊤ x = b, сводится крешению двух систем линейных уравнений с треугольными матрицами:{ Cy = b,(3.67)C ⊤ x = y.